Question

已知：如圖，⊙O₁與⊙O₂外切于點(diǎn)P，A為⊙O₁上一點(diǎn)，直線(xiàn)AC切⊙O₂于點(diǎn)C，且交⊙O₁于點(diǎn)B，AP的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O₂于點(diǎn)D．
（1）求證：∠BPC=∠CPD；
（2）若⊙O₁半徑是⊙O₂半徑的2倍，PD=10，AB=，求PC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)弦切角定理得出∠PAB=∠BPE，利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理得出EP=EC，再利用三角形的外角性質(zhì)得出∠CPD=∠EPC+∠BPE，即可得出答案；
（2）首先得出△O₁PA∽△O₂DP，求出AP的長(zhǎng)，進(jìn)而得出BC的長(zhǎng)，再利用△DPC∽△CPB，△APC∽△ACD，即可得出PC，CD的關(guān)系即可得出PC的長(zhǎng)．
解答：（1）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作兩圓的公切線(xiàn)PE，交BC于點(diǎn)E，
∵⊙O₁與⊙O₂外切于點(diǎn)P，直線(xiàn)AC切⊙O₂于點(diǎn)C，
∴EP=EC，∠PAB=∠BPE，
∴∠ECP=∠EPC，
又∵∠PAC+∠ACP=∠CPD，
∴∠CPD=∠EPC+∠BPE，
∴∠BPC=∠CPD；

（2）解：如圖2，連接O₁O₂，AO₁，DO₂，CD，
∵∠O₁PA=∠O₁AP，∠O₂DP=∠O₂PD，∠O₁PA=∠O₂PD，
∴∠O₁PA=∠O₁AP=∠O₂DP=∠O₂PD，
∴△O₁PA∽△O₂DP，
∴==，
∵PD=10，
∴AP=20，
∵直線(xiàn)AC切⊙O₂于點(diǎn)C，
∴AC²=AP×AD=（20+10）×20=600，
∴AC=10，
∵AB=7，
∴BC=3，
∵直線(xiàn)AC切⊙O₂于點(diǎn)C，
∴∠PDC=∠PCB，
∵∠PDC=∠BPC，
∴△DPC∽△CPB，
∴=，
∴=，
∵∠CAP=∠DAC，∠PCA=∠CDA，
∴△APC∽△ACD，
∴===，
∴CD=PC，
∴=，
解得：PC=2．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及弦切角定理和相似三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)已知得出PC與CD的比例關(guān)系是解題關(guān)鍵．