Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與軸交點(diǎn)，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)．如圖1，點(diǎn)為拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交于．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）當(dāng)是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）如圖2，作點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，設(shè)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與軸交點(diǎn)為，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）；（2）或;(3) 2．

【解析】

(1)先求出A、C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法確定拋物線(xiàn)的解析式即可；

（2）設(shè)，則，然后就P在BC上方和下方分別解答即可；

（3）由題意得B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4,0）和（0,2），求得M和Q的坐標(biāo)，得出直線(xiàn)QM的解析式，進(jìn)而確定E、F兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)；然后過(guò)點(diǎn)E做垂直于x軸的直線(xiàn)交點(diǎn)為H，過(guò)點(diǎn)F做垂直于y軸的直線(xiàn)，交于點(diǎn)G ，證得△EQH∽△EFG和△MQJ∽△EQH，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)列出方程解答即可.

解：（1）在中，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴、

∵拋物線(xiàn)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)

∴

∴

∴拋物線(xiàn)的解析式為

（2）設(shè)，則

①當(dāng)在的上方時(shí)，

，

若，

∵軸，可得軸

∴

∴

在中

∴在中，

∴

∴或（舍去）

∴點(diǎn)坐標(biāo)

②當(dāng)在的下方時(shí)，過(guò)作于．

若，

∴

∴在中，

∴．

∴或（舍去）

∴點(diǎn)坐標(biāo)

∴當(dāng)是直角三角形時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為或．

（3）設(shè)BC直線(xiàn)為y=kx+b，

有 解得導(dǎo)，

∴直線(xiàn)BC為

拋物線(xiàn)的解析式可化為： ，

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（1,0）

∵PM⊥x軸

∴點(diǎn)M橫坐標(biāo)即為點(diǎn)P橫坐標(biāo)，為2

又∵點(diǎn)M在直線(xiàn)BC上，有=1

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（2,1）

設(shè)過(guò)點(diǎn)Q、M直線(xiàn)為y=k2x+b2，

則有 ，解得

∴ QM直線(xiàn)為y=x-1

由解得

∴E、F橫坐標(biāo)別為Ex=，Fx=

又∵點(diǎn)E、F在QM直線(xiàn)上，

∴點(diǎn)E、F別坐標(biāo)為Ey=，Fy=

過(guò)點(diǎn)E作垂直于x軸的直線(xiàn)交點(diǎn)為H，過(guò)點(diǎn)F作垂直于y 軸的直線(xiàn)，交于點(diǎn)G

∵EH⊥x軸，FG⊥y軸

∴EH⊥FG,G點(diǎn)坐標(biāo)為（Ex，Fy）

∴∠EHQ=∠EGF=90°

又∵∠EQH=∠EFG

△EQH∽△EFG

過(guò)點(diǎn)M作垂直于x軸的直線(xiàn)交點(diǎn)為J

同理可得△MQJ∽△EQH，

∴△EQH∽△EFG△MQJ，

∴

∴

∴EF=×=2