Question

閱讀以下短文,然后解決下列問題:

如果一個三角形和一個矩形滿足條件:三角形的一邊與矩形的一邊重合,且三角形的這邊所對的頂點在矩形這邊的對邊上,則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”.如圖①所示,矩形ABEF即為△ABC的“友好矩形”.顯然,當(dāng)△ABC是鈍角三角形時,其“友好矩形”只有一個.

(1)仿照以上敘述,說明什么是一個三角形的“友好平行四邊形”.

(2)如圖②,若△ABC為直角三角形,且∠C=90°,在圖②中畫出△ABC的所有“友好矩形”,并比較這些矩形面積的大小.

(3)若△ABC是銳角三角形,且BC>AC>AB,在圖③中畫出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周長最小的矩形并加以證明.

Answer 1

 (1)如果一個三角形和一個平行四邊形滿足條件:三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合,三角形這邊所對的頂點在平行四邊形這邊的對邊上,則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”.

(2)此時共有2個“友好矩形”,如圖,矩形BCAD,矩形ABEF.

易知,矩形BCAD,矩形ABEF的面積都等于△ABC面積的2倍,

∴△ABC的“友好矩形”的面積相等.

(3)此時共有3個“友好矩形”,如圖中矩形BCDE,矩形CAFG及矩形ABHK,其中矩形ABHK的周長最小.

證明如下:易知,這三個矩形的面積相等,令其為S.設(shè)矩形BCDE,矩形CAFG及矩形ABHK的周長分別為L₁,L₂,L₃,△ABC的邊長BC=a,CA=b,AB=c,則L₁=+2a,L₂=+2b,L₃=+2c.

∴L₁-L₂=-=2(a-b)×,而ab>S,a>b,∴L₁- L₂>0,即L₁> L₂.

同理可得,L₂> L₃,

∴L₃最小,即矩形ABHK的周長最小.