【題目】△ABC中,點(diǎn)O是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的平分線于E,交∠DCA的平分線于點(diǎn)F.

(1)求證:EO=FO;

(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形AECF是矩形?并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)證明見解析;(2)(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形;理由見解析.

【解析】試題分析:1)由于CE平分∠BCA,那么有∠1=2,而MNBC,利用平行線的性質(zhì)有∠1=3,等量代換有∠2=3,于OE=OC,同理OC=OF,于是OE=OF;(2OA=OC,那么可證四邊形AECF是平行四邊形,又CECF分別是∠BCA及其外角的角平分線,易證∠ECF90°,從而可證四邊形AECF是矩形.

1CE平分∠BCA

∴∠1=2,

又∵MNBC

∴∠1=3,

∴∠3=2,

EO=CO,

同理,FO=CO,

EO=FO;

2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形;理由如下:如圖所示:

OA=OC,

∴四邊形AECF是平行四邊形,

CF是∠BCA的外角平分線,

∴∠4=5

又∵∠1=2,

∴∠1+5=2+4

又∵∠1+5+2+4=180°,

∴∠2+4=90°,

∴平行四邊形AECF是矩形.

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