Question

（2009•咸寧）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊長(zhǎng)為5的正三角形OAB的OA邊在x軸的正半軸上．點(diǎn)C、D同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)C以1單位長(zhǎng)/秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D為2個(gè)單位長(zhǎng)/秒的速度沿折線OBA運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，0＜t＜5．
（1）當(dāng)0＜t＜時(shí)，證明DC⊥OA；
（2）若△OCD的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）以點(diǎn)C為中心，將CD所在的直線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°交AB邊于點(diǎn)E，若以O(shè)、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)0＜t＜時(shí)，點(diǎn)C不過(guò)OA中點(diǎn)，想證明垂直應(yīng)先作出一條和CD有關(guān)的垂線，利用相似求解．
（2）應(yīng)分當(dāng)0＜t＜時(shí)，和≤t＜5時(shí)兩種情況探討，應(yīng)用t表示利用特殊的三角函數(shù)表示出OC邊上的高．進(jìn)而表示出面積即可．
（3）以O(shè)、C、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，那么應(yīng)根據(jù)（1）（2）中的兩種類(lèi)型的三角形，可分DE∥CO、CD∥OE兩種情況進(jìn)行探討．
解答：解：（1）作BG⊥OA于G．
在Rt△OBG中，
=cos∠BOA=cos60°=，
而，
∴．
又∵∠DOC=∠BOG，
∴△DOC∽△BOG，
∴∠DCO=∠BGO=90°．
即DC⊥OA．

（2）當(dāng)0＜t＜時(shí)，
在Rt△OCD中，
CD=OD×sin60°=2t×=．
∴S=×OC×CD=×t×=；
當(dāng)≤t＜5時(shí)（如圖2）
過(guò)點(diǎn)D作DH⊥OA于H．
在Rt△AHD中，
HD=AD×sin60°=（10-2t）×=（5-t）．
S=×OC×HD=×t×（5-t）=t-t²．

（3）當(dāng)DE∥OC時(shí)，△DBE是等邊三角形．（如圖3）
BE=BD=5-2t．
在△CAE中，∠ECA=90°-∠DCE=30°，∠BAO=60°，
∴∠CEA=90°．
而AC=5-t，∴AE=AC=．
∴BE+AE=（5-2t）+=5，
∴t=1．
因此AE==2．
過(guò)點(diǎn)E作EM⊥OA于M．
則EM=AE×sin60°=2×=，
AM=AE×cos60°=2×=1，OM=OA-AM=4．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，）．
當(dāng)CD∥OE時(shí)（如圖4），BD=2t-5．
∠OEA=90°，∴CD⊥AB．
而△OAB是等邊三角形，
∴DE=BD-AB=．
∴2t-5=．
∴t=．
因此AE==．
∴E的縱坐標(biāo)為×=，
橫坐標(biāo)為5-×=，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）．
綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，）或（，）．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道旋轉(zhuǎn)與運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的大題，并且聯(lián)系函數(shù)與四邊形知識(shí)，要注意這些知識(shí)點(diǎn)間的融會(huì)貫通．