Question

（2010•常州）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點P、Q分別是AB邊和CD邊上的動點，點P從點A向點B運動，點Q從點C向點D運動，且保持AP=CQ．設(shè)AP=x．
（1）當(dāng)PQ∥AD時，求x的值；
（2）當(dāng)線段PQ的垂直平分線與BC邊相交時，求x的取值范圍；
（3）當(dāng)線段PQ的垂直平分線與BC相交時，設(shè)交點為E，連接EP、EQ，設(shè)△EPQ的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出S的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知條件，證明四邊形APQD是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)和AP=CQ求x即可；
（2）連接EP、EQ，則EP=EQ，設(shè)BE=y，列出等式（8-x）²+y²=（6-y）²+x²然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來求x的取值范圍；
（3）由圖形的等量關(guān)系列出方程，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來求最值．
解答：解：（1）當(dāng)PQ∥AD時，則
∠A=∠APQ=90°，∠D=∠DQP=90°，
又∵AB∥CD，
∴四邊形APQD是矩形，
∴AP=QD，
∵AP=CQ，
AP=CD=，
∴x=4．

（2）如圖，連接EP、EQ，則EP=EQ，設(shè)BE=y．
∴（8-x）²+y²=（6-y）²+x²，
∴y=．
∵0≤y≤6，
∴0≤≤6，
∴≤x≤．

（3）S_△BPE=•BE•BP=••（8-x）=，
S_△ECQ==•（6-）•x=，
∵AP=CQ，
∴S_BPQC=，
∴S=S_BPQC-S_△BPE-S_△ECQ=24--，
整理得：S==（x-4）²+12（），
∴當(dāng)x=4時，S有最小值12，
當(dāng)x=或x=時，S有最大值．
∴12≤S≤．
點評：解答本題時，涉及到了矩形的判定、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及二次函數(shù)的最值等知識點，這是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，所以在解答題目時，一定要把各個知識點融會貫通，這樣解題時才會少走彎路．