Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB=AC，點(diǎn)D在弧BC上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)AD．
（1）當(dāng)AB=5，BC=6時(shí)，求⊙O的半徑．
（2）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，DE是⊙O的切線？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BO，AO，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)F，由等腰三角形的性質(zhì)得到AF與BC垂直，且F為BC的中點(diǎn)，求出BF的長(zhǎng)，在直角三角形ABF中，理由勾股定理求出AF的長(zhǎng)，設(shè)圓O的半徑為r，在直角三角形OBF中，由AF-AO表示出OF，利用勾股定理列出關(guān)于r的方程，求出方程的解即可得到圓的半徑長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到弧BC中點(diǎn)時(shí)，DE是⊙O的切線，理由為：由D為弧BC中點(diǎn)，利用垂徑定理的逆定理得到AD垂直于BC，且AD過圓心，由BC與DE平行，利用與平行線中的一條垂直，與另一條也垂直得到AD與DE垂直，即可確定出DE為圓的切線．
解答：解：（1）連接BO，AO，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)F，
∴AF⊥BC，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，即BF=CF=BC=3，
∵AB=5，∴AF=4，
設(shè)圓O的半徑為r，在Rt△OBF中，OF=AF-AO=4-r，OB=r，BF=3，
根據(jù)勾股定理得：r²=3²+（4-r）²，
解得：r=，
則圓O的半徑為；

（2）當(dāng)D為的中點(diǎn)時(shí)，DE是圓O的切線，理由為：
∵D為的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，AD過圓心，
∵DE∥BC，
∴AD⊥ED，
∴DE為圓O的切線．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，涉及的知識(shí)有：垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用了方程的思想，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．