Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD=CD，∠D=90°，∠B=60°，AC⊥BC，點E在AC上，EC=BC，點P是CD邊上一動點，若BC=4，則PA+PE的最小值等于

8

．

Answer 1

分析：作點E關(guān)于CD的對稱點F，交CD于點G，連接AF交CD于P，連接EP，CF．由軸對稱的性質(zhì)可以得出CE=CF，PE=PF，證明△CGF≌△CGE就可以得出∠ECF=90°，由勾股定理就可以求出AF的值，即PA+PE的最小值．

解答：解：作點E關(guān)于CD的對稱點F，交CD于點G，連接AF交CD于P，連接EP，CF
∴CE=CF，PE=PF，GE=GF．
在△CGE和△CGF中，

CE=CF GE=GF CG=CG

，
∴△CGE≌△CGF（SSS），
∴∠GCE=∠GCF．
∵AD=CD，∠D=90°，
∴∠GCE=45°，
∴∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°．
∵BC=4，EC=BC，
∴CF=4．
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°．
∵∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=8．
∵AC⊥BC，CF=BC，
∴AF=AB=8．
∵AF=AP+PF，
∴AF=AP+PE，
∴AP+PE=8
故答案為8．

點評：本題考查了軸對稱的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，最短路線問題的運用，解答時根據(jù)最短路線問題畫出圖形是關(guān)鍵．