Question

已知：如圖，△ABC中，AB=AC，AD是中線，P是AD上一點(diǎn)，過C作CF∥AB，延長(zhǎng)BP交AC于E，交CF于F、求證：BP²=PE•PF．

Answer 1

【答案】分析：要證線段乘積式相等，常常先證比例式成立，要證比例式，須有三角形相似，要證三角形相似，須根據(jù)已知與圖形找條件就可．
解答：證明：連接PC，
∵AB=AC，AD是中線，
∴AD是△ABC的對(duì)稱軸．
∴PC=PB，∠PCE=∠ABP．
∵CF∥AB，∴∠PFC=∠ABP（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∴∠PCE=∠PFC．
又∵∠CPE=∠EPC，
∴△EPC∽△CPF．
∴（相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例）．
∴PC²=PE•PF．
∵PC=BP
∴BP²=PE•PF．
點(diǎn)評(píng)：證明線段乘積式相等，常常先證比例式成立這是十分重要的方法之一，本題主要考查的是相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用．