Question

如圖所示，拋物線與軸交于點(diǎn)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)以為直徑作過拋物線上一點(diǎn)作的切線切點(diǎn)為并與的切線相交于點(diǎn)連結(jié)并延長交于點(diǎn)連結(jié)

（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若四邊形的面積為求直線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形的面積等于的面積？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1），（2）或（3）

解：（1）因?yàn)閽佄锞�與軸交于點(diǎn)兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：
∵拋物線與軸交于點(diǎn)
∴
∴
所以，拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：················· 2分
又
因此，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為······················ 3分
（2）連結(jié)

∵是的兩條切線，
∴∴
又四邊形的面積為∴∴
又∴
因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為或··············· 5分
當(dāng)點(diǎn)在第二象限時(shí)，切點(diǎn)在第一象限.
在直角三角形中，
∴∴
過切點(diǎn)作垂足為點(diǎn)
∴
因此，切點(diǎn)的坐標(biāo)為························ 6分
設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為將的坐標(biāo)代入得
解之，得
所以，直線的函數(shù)關(guān)系式為··············· 7分
當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，切點(diǎn)在第四象限.
同理可求：切點(diǎn)的坐標(biāo)為直線的函數(shù)關(guān)系式為
因此，直線的函數(shù)關(guān)系式為
或····················· 8分
（3）若四邊形的面積等于的面積
又
∴
∴兩點(diǎn)到軸的距離相等，
∵與相切，∴點(diǎn)與點(diǎn)在軸同側(cè)，
∴切線與軸平行，
此時(shí)切線的函數(shù)關(guān)系式為或
······················· 9分
當(dāng)時(shí)，由得，
當(dāng)時(shí)，由得，················ 11分
故滿足條件的點(diǎn)的位置有4個(gè)，分別是
······························ 12分
說明：本參考答案給出了一種解題方法，其它正確方法應(yīng)參考標(biāo)準(zhǔn)給出相應(yīng)分?jǐn)?shù).
（1）通過點(diǎn)，求得拋物線的函數(shù)關(guān)系式和頂點(diǎn)坐標(biāo)
（2）連結(jié)通過是的兩條切線，得到，通過四邊形的面積和得到，從而求得E點(diǎn)坐標(biāo)有兩個(gè)，分別求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，求得直線的函數(shù)關(guān)系式
（3）若四邊形的面積等于的面積，即，得出切線與軸平行，通過切線的函數(shù)關(guān)系式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)