Question

已知：關(guān)于x的方程（k+2）x²-x+2=0，
（1）k取何值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？求出這時(shí)方程的根．
（2）k取何值時(shí)，方程有實(shí)根？

Answer 1

分析：（1）由關(guān)于x的方程（k+2）x²-x+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即可得k+2≠0且判別式△=（-1）²-4×（k+2）×2=0，即可求得k的值；然后將k的值代入原方程，利用直接開平方法，即可求得這時(shí)方程的根；
（2）分兩種情況：①k+2=0時(shí)，為一元一次方程，此時(shí)方程有實(shí)根；②k+2≠0時(shí)，為一元二次方程，由判別式△=（-1）²-4×（k+2）×2≥0，解此不等式即可求出k的取值范圍．

解答：解：（1）∵關(guān)于x的方程（k+2）x²-x+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴判別式△=（-1）²-4×（k+2）×2=0，k+2≠0，
解得：k=-

15

8

；
∴k=-

15

8

時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
當(dāng)k=-

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8

時(shí)，原方程為：

1

8

x²-x+2=0，即（x-4）²=0，
解得：x₁=x₂=4；

（2）分兩種情況：
①k+2=0時(shí)，為一元一次方程，此時(shí)方程有實(shí)根，即當(dāng)k=-2時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根；
②k+2≠0時(shí)，為一元二次方程，由判別式△=（-1）²-4×（k+2）×2≥0，
解得：k≤-

15

8

．
即當(dāng)k≤-

15

8

且k≠-2時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根．
綜上可知當(dāng)k≤-

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8

時(shí)，方程有實(shí)根．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程根的判別式與一元二次方程的解法．此題難度中等，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．