Question

【題目】如圖，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分線OM上有一點C，將一個60°角的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點D、E．

（1）當∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時（如圖1），請猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）當∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，到達圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；

（3）當∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長線相交時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由詳見解析；（3）（1）中結(jié)論不成立，結(jié)論為OE﹣OD=OC，證明詳見解析.

【解析】

(1)根據(jù)OM是∠AOB的角平分線，可得∠AOB=60°，則∠OCE=30°，再根據(jù)30°所對直角邊是斜邊的一半，得出OD=OC，同理：OE=OC，即可得出結(jié)論；(2)同(1)的方法得到OF+OG=OC，再根據(jù)AAS證明△CFD≌△CGE，得出DF=EG，則OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，OF+OG=OD+OE，即可得出結(jié)論.(3)同(2)的方法得到DF=EG，根據(jù)等量代換可得OE﹣OD=OC.

(1)∵OM是∠AOB的角平分線，

∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，

∵CD⊥OA，

∴∠ODC=90°，

∴∠OCD=30°，

∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=30°，

在Rt△OCD中，OD=OC，同理：OE=OC，

∴OD+OE=OC，

(2)(1)中結(jié)論仍然成立，理由：

過點C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如圖，

∴∠OFC=∠OGC=90°，

∵∠AOB=120°，

∴∠FCG=60°，

同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，

∴OF+OG=OC，

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點C是∠AOB的平分線OM上一點，

∴CF=CG，

∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，

∴∠DCF=∠ECG，

∴△CFD≌△CGE，

∴DF=EG，

∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，

∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，

∴OD+OE=OC；

(3)(1)中結(jié)論不成立，結(jié)論為：OE﹣OD=OC，

理由：過點C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如圖，

∴∠OFC=∠OGC=90°，

∵∠AOB=120°，

∴∠FCG=60°，

同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，

∴OF+OG=OC，

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點C是∠AOB的平分線OM上一點，

∴CF=CG，

∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，

∴∠DCF=∠ECG，

∴△CFD≌△CGE，

∴DF=EG，

∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，

OG=OE﹣EG，

∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，

∴OE﹣OD=OC．