Question

 (2010．十堰)已知關(guān)于x的方程mx²-(3m－1)x+2m－2=0

（1）求證：無論m取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程恒有實(shí)數(shù)根.

（2）若關(guān)于x的二次函數(shù)y= mx²-(3m－1)x+2m－2的圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為2時(shí)，求拋物線的解析式.

（3）在直角坐標(biāo)系xoy中，畫出（2）中的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答問題：當(dāng)直線y=x+b與（2）中的函數(shù)圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求b的取值范圍.

Answer 1

解：（1）分兩種情況討論：

①當(dāng)m=0 時(shí)，方程為x－2=0，∴x=2 方程有實(shí)數(shù)根

②當(dāng)m≠0時(shí)，則一元二次方程的根的判別式

△=[－（3m－1）]²－4m（2m－2）=m²+2m+1=（m+1）²≥0

不論m為何實(shí)數(shù)，△≥0成立，∴方程恒有實(shí)數(shù)根

綜合①②，可知m取任何實(shí)數(shù)，方程mx²-(3m－1)x+2m－2=0恒有實(shí)數(shù)根.

（2）設(shè)x₁，x₂為拋物線y= mx²-(3m－1)x+2m－2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

則有x₁+x₂=，x₁·x₂=

由| x₁－x₂|====，

由| x₁－x₂|=2得=2，∴=2或=－2

∴m=1或m=

∴所求拋物線的解析式為：y₁=x²－2x或y₂=x²+2x－

即y₁= x（x－2）或y₂=（x－2）（x－4）其圖象如右圖所示.

（3）在（2）的條件下，直線y=x+b與拋物線y₁，y₂組成的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象，求b的取值范圍.

，當(dāng)y₁=y時(shí)，得x²－3x－b=0，△=9+4b=0，解得b=－；

同理，可得△=9－4（8+3b）=0，得b=－.

觀察函數(shù)圖象可知當(dāng)b<－或b>－時(shí)，直線y=x+b與（2）中的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn).

由

當(dāng)y₁=y₂時(shí)，有x=2或x=1

當(dāng)x=1時(shí)，y=－1

所以過兩拋物線交點(diǎn)（1，－1），（2，0）的直線y=x－2，

綜上所述可知：當(dāng)b<－或b>－或b=－2時(shí)，直線y=x+b與（2）中的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn).