(2010.十堰)已知關(guān)于x的方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0
(1)求證:無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)時(shí),方程恒有實(shí)數(shù)根.
(2)若關(guān)于x的二次函數(shù)y= mx2-(3m-1)x+2m-2的圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為2時(shí),求拋物線的解析式.
(3)在直角坐標(biāo)系xoy中,畫(huà)出(2)中的函數(shù)圖象,結(jié)合圖象回答問(wèn)題:當(dāng)直線y=x+b與(2)中的函數(shù)圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),求b的取值范圍.
解:(1)分兩種情況討論:
①當(dāng)m=0 時(shí),方程為x-2=0,∴x=2 方程有實(shí)數(shù)根
②當(dāng)m≠0時(shí),則一元二次方程的根的判別式
△=[-(3m-1)]2-4m(2m-2)=m2+2m+1=(m+1)2≥0
不論m為何實(shí)數(shù),△≥0成立,∴方程恒有實(shí)數(shù)根
綜合①②,可知m取任何實(shí)數(shù),方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0恒有實(shí)數(shù)根.
(2)設(shè)x1,x2為拋物線y= mx2-(3m-1)x+2m-2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
則有x1+x2=,x1·x2=
由| x1-x2|====,
由| x1-x2|=2得=2,∴=2或=-2
∴m=1或m=
∴所求拋物線的解析式為:y1=x2-2x或y2=x2+2x-
即y1= x(x-2)或y2=(x-2)(x-4)其圖象如右圖所示.
(3)在(2)的條件下,直線y=x+b與拋物線y1,y2組成的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn),結(jié)合圖象,求b的取值范圍.
,當(dāng)y1=y時(shí),得x2-3x-b=0,△=9+4b=0,解得b=-;
同理,可得△=9-4(8+3b)=0,得b=-.
觀察函數(shù)圖象可知當(dāng)b<-或b>-時(shí),直線y=x+b與(2)中的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn).
由
當(dāng)y1=y2時(shí),有x=2或x=1
當(dāng)x=1時(shí),y=-1
所以過(guò)兩拋物線交點(diǎn)(1,-1),(2,0)的直線y=x-2,
綜上所述可知:當(dāng)b<-或b>-或b=-2時(shí),直線y=x+b與(2)中的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn).
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