(2010.十堰)已知關(guān)于x的方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0

(1)求證:無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)時(shí),方程恒有實(shí)數(shù)根.

(2)若關(guān)于x的二次函數(shù)y= mx2-(3m-1)x+2m-2的圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為2時(shí),求拋物線的解析式.

(3)在直角坐標(biāo)系xoy中,畫(huà)出(2)中的函數(shù)圖象,結(jié)合圖象回答問(wèn)題:當(dāng)直線y=x+b與(2)中的函數(shù)圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),求b的取值范圍.

解:(1)分兩種情況討論:

①當(dāng)m=0 時(shí),方程為x-2=0,∴x=2 方程有實(shí)數(shù)根

②當(dāng)m≠0時(shí),則一元二次方程的根的判別式

△=[-(3m-1)]2-4m(2m-2)=m2+2m+1=(m+1)2≥0

不論m為何實(shí)數(shù),△≥0成立,∴方程恒有實(shí)數(shù)根

綜合①②,可知m取任何實(shí)數(shù),方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0恒有實(shí)數(shù)根.

(2)設(shè)x1,x2為拋物線y= mx2-(3m-1)x+2m-2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

則有x1+x2=,x1·x2=

由| x1x2|====

由| x1x2|=2得=2,∴=2或=-2

m=1或m=

∴所求拋物線的解析式為:y1=x2-2xy2=x2+2x

y1= xx-2)或y2=x-2)(x-4)其圖象如右圖所示.

(3)在(2)的條件下,直線y=x+b與拋物線y1,y2組成的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn),結(jié)合圖象,求b的取值范圍.

,當(dāng)y1=y時(shí),得x2-3xb=0,△=9+4b=0,解得b=-

同理,可得△=9-4(8+3b)=0,得b=-.

觀察函數(shù)圖象可知當(dāng)b<-b>-時(shí),直線y=x+b與(2)中的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)y1=y2時(shí),有x=2或x=1

當(dāng)x=1時(shí),y=-1

所以過(guò)兩拋物線交點(diǎn)(1,-1),(2,0)的直線y=x-2,

綜上所述可知:當(dāng)b<-b>-b=-2時(shí),直線y=x+b與(2)中的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn).

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