Question

（2012•福州質(zhì)檢）如圖，∠AOB=30°，n個(gè)半圓依次外切，它們的圓心都在射線OA上并與射線OB相切，設(shè)半圓C₁、半圓C₂、半圓C₃、…、半圓C_n的半徑分別是r₁、r₂、r₃、…、r_n，則

r2012

r2011

=

3

．

Answer 1

分析：設(shè)三個(gè)半圓與直線OC分別相切于D、E、F點(diǎn)，分別連接圓心與切點(diǎn)，根據(jù)切線的性質(zhì)得到三個(gè)直角三角形，再根據(jù)30°角所對直角邊等于斜邊的一半得到OC₁=2C₁D，0C₂=2C₂E，0C₃=2C₃F，再由三半圓彼此外切，得到相兩圓的圓心距等于兩半徑相加，得出r₁、r₂、r₃間的關(guān)系，由r₁的值可得出r₂、r₃的值，按照此規(guī)律可歸納出r_n的值．

解答：
解：連接C₁D，C₂E，C₃F．
∵三半圓都與射線OB相切，
∴C₁D⊥OD，C₂E⊥OE，C₃F⊥OF，
又∵∠AOB=30°，
又∵三半圓彼此相外切，
∴OC₁=2C₁D=2r₁，0C₂=2C₂E=2r₂=OC₁+r₁+r₂=3r₁+r₂，0C₃=2C₃F=OC₁+r₁+2r₂+r₃=2r₃，
∴2r₂=3r₁+r₂，
∴r₂=3r₁，
∴r₃=9r₁=3²r₁，
∴按此規(guī)律歸納得：r_n=3^n-1r₁
則

r2012

r2011

=

32011•r1

32010•r1

=3．
故答案是：3．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩圓相切的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，兩圓了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的思想，鍛煉了學(xué)生歸納總結(jié)的能力，其中當(dāng)兩圓外切時(shí)，兩圓的圓心距等于兩半徑之和；兩圓內(nèi)切時(shí)，兩圓圓心距等于兩半徑之差，熟練掌握性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．