Question

如圖，DE分別是△ABC的邊BC和AB上的點(diǎn)，△ABD與△ACD的周長(zhǎng)相等，△CAE與△CBE的周長(zhǎng)相等．設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．
（1）求AE和BD的長(zhǎng)；
（2）若∠BAC=90°，△ABC的面積為S，求證：S=AE•BD．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)，△ABD與△ACD的周長(zhǎng)相等，我們可得出：AB+BD=AC+CD，等式的左右邊正好是三角形ABC周長(zhǎng)的一半，即，有AB，AC的值，那么就能求出BD的長(zhǎng)了，同理可求出AE的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)（1）中求出的AE，BD的值，先求出AE•BD是多少，在化簡(jiǎn)過(guò)程中，可以利用一些已知條件比如勾股定理等，來(lái)使化簡(jiǎn)的結(jié)果和三角形ABC的面積得出的結(jié)果相同．
解答：（1）解：∵△ABD與△ACD的周長(zhǎng)相等，BC=a，AC=b，AB=c，
∴AB+BD=AC+CD=．
∴BD=-c=，
同理AE=；

（2）證明：∵∠BAC=90°，
∴c²+b²=a²，S=bc，
由（1）知AE•BD=×==（a²-b²-c²+2bc）=，
即S=AE•BD
點(diǎn)評(píng)：本題中通過(guò)周長(zhǎng)相等得出線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．要注意在（2）中化簡(jiǎn)AE•BD的式子的過(guò)程中要多使用已知或間接知道的條件．