已知:如圖,有一塊含30°的直角三角板OAB的直角邊長BO的長恰與另一塊等腰直角三角板ODC的斜邊OC的長相等,把該套三角板放置在平面直角坐標系中,且AB=3.
(1)若雙曲線的一個分支恰好經(jīng)過點A,求雙曲線的解析式;
(2)若把含30°的直角三角板繞點O按順時針方向旋轉后,斜邊OA恰好與x軸重疊,點A落在點A′,試求圖中陰影部分的面積(結果保留π).

【答案】分析:(1)要求雙曲線的解析式,主要是求得點A的坐標,根據(jù)30°的直角三角形的性質即可求得OB的長,則得到點A的坐標,再根據(jù)待定系數(shù)法進一步求得雙曲線的解析式;
(2)陰影部分的面積即為扇形OAA′的面積減去三角形OCD的面積.
解答:解:(1)在Rt△OBA中,∠AOB=30°,AB=3,
=,
∴OB=AB•=3
∴點A(3,3).
設雙曲線的解析式為y=(k≠0).
∴3=,k=9
則雙曲線的解析式為y=

(2)在Rt△OBA中,∠AOB=30°,AB=3,
sin∠AOB=,sin30°=,
∴OA=6.
由題意得:∠AOC=60°,
S扇形AOA′=
在Rt△OCD中,∠DOC=45°,OC=OB=3,
∴OD=OC•cos45°=3
∴S△ODC=
∴S陰影=S扇形AOA′-S△ODC=6π-
點評:綜合考查了30°的直角三角形的性質、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、扇形的面積公式.
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(1)若雙曲線的一個分支恰好經(jīng)過點A,求雙曲線的解析式;
(2)若把含30°的直角三角板繞點O按順時針方向旋轉后,斜邊OA恰好與x軸重疊,點A落在點A′,試求圖中陰影部分的面積(結果保留π).

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3
,若把含30°的直角三角板繞點O按順時針方向旋轉后,斜邊OA恰好與x軸重疊,點A落在點A′,則圖中陰影部分的面積等于
 
.(結果保留π)

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