Question

如圖，拋物線y=x²+bx-2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若E是拋物線上異于C的點(diǎn)，且S_△ABE=S_△ABC，則滿足條件的點(diǎn)E有______ 個；
（3）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=x²+bx-2過A（-1，0）點(diǎn)，
∴0=×1+b×（-1）-2，
∴b=-，
∴拋物線的解析式為：y=x²-x-2，
∴y=x²-x-2，
=（x²-3x）-2，
=（x²-3x+-）-2，
=（x-）²--2，
=（x-）²-，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，-）；

（2）∵E是拋物線上異于C的點(diǎn)，且S_△ABE=S_△ABC，
∴只需滿足E到x軸的距離等于C到x軸的距離即可，
∴滿足條件的點(diǎn)E有3個；

（3）∵拋物線的解析式為：y=x²-x-2=（x-）²-，
∴當(dāng)y=0，
∴0=（x-）²-，
解得：x₁=4，x₂=-1，
∴A（-1，0），B（4，0），
當(dāng)x=0，y=-2，
∴AO=1，CO=2，
∴AC=，
BO=4，
∴BC=2
∴AB=5，
∵AC²=5，BC²=20，AB²=25，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形．
分析：（1）根據(jù)拋物線y=x²+bx-2過A（-1，0）點(diǎn)，直接求出b的值，再根據(jù)配方法求出二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)三角形面積求法得出等底同高面積相等，即可得出符合要求的答案；
（3）分別求出三角形三邊，即可得出三角形的形狀．
點(diǎn)評：此題主要考查了配方法求二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)以及三角形面積求法和三角形形狀的判定方法，此題基礎(chǔ)性較強(qiáng)，主要結(jié)合圖形分析注意計算的正確性．