Question

如圖，n+1個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)△B₂D₁C₁面積為S₁，△B₃D₂C₂面積為S₂，…，△B_n+1D_nC_n面積為S_n，則S_n等于（　　）

• A、

  n

  3 n+1

• B、

  3

  n+1

• C、

  3 n

  n-1

• D、

  3 n

  n+1

Answer 1

分析：由n+1個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，則B₁，B₂，B₃，…B_n在一條直線上，可作出直線B₁B₂．易求得△AB₁C₁的面積，然后由相似三角形的性質(zhì)，易求得S₁的值，同理求得S₂的值，繼而求得S_n的值．

解答：解：n+1個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，則B₁，B₂，B₃，…B_n在一條直線上，作出直線B₁B₂．
∴S_△AB1C1=

1

2

×2×

3

=

3

，
∵∠B₁C₁B₂=60°，
∴AB₁∥B₂C₁，
∴△B₁C₁B₂是等邊△，且邊長(zhǎng)=2，
∴△B₁B₂D₁∽△C₁AD₁，
∴B₁D₁：D₁C₁=1：1，
∴S₁=

3

2

，
同理：B₂B₃：AC₂=1：2，
∴B₂D₂：D₂C₂=1：2，
∴S₂=

2 3

3

，
同理：B_nB_n+1：AC_n=1：n，
∴B_nD_n：D_nC_n=1：n，
∴S_n=

3 n

n+1

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)．此題難度較大，屬于規(guī)律性題目，注意輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．