【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F

1)求證:AE=EF;

2)如圖2,若把條件點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)改為點(diǎn)E是邊BC上的任意一點(diǎn),其余條件不變,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?  ;(填成立不成立);

3)如圖3,若把條件點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)改為點(diǎn)E是邊BC延長線上的一點(diǎn)其余條件仍不變,那么結(jié)論AE=EF是否成立呢?若成立請證明,若不成立說明理由.

【答案】1)證明見解析;2)成立;(3)成立,證明見解析.

【解析】試題分析:1)取AB中點(diǎn)M,連接EM,求出BM=BE,得出∠BME=45°,求出∠AME=ECF=135°,求出∠MAE=FEC,根據(jù)ASA推出AMEECF全等即可;

2)截取BE=BM,連接EM,求出AM=EC,得出∠BME=45°,求出∠AME=ECF=135°,求出∠MAE=FEC,根據(jù)ASA推出AMEECF全等即可;

3)在BA的延長線上取一點(diǎn)N,使AN=CE,連接NE,根據(jù)已知利用ASA判定ANE≌△ECF,因為全等三角形的對應(yīng)邊相等,所以AE=EF

試題解析:1)證明:取AB中點(diǎn)M,連接EM,

AB=BC,EBC中點(diǎn),MAB中點(diǎn),

AM=CE=BE

∴∠BME=BME=45°,

∴∠AME=135°=ECF

∵∠B=90°,

∴∠BAE+AEB=90°

∵∠AEF=90°,

∴∠AEB+FEC=90°

∴∠BAE=FEC,

AMEECF中,

∴△AME≌△ECFASA),

AE=EF;

2)成立,

理由是:如圖,在AB上截取BM=BE,連接ME

∵∠B=90°,

∴∠BME=BEM=45°,

∴∠AME=135°=ECF,

AB=BCBM=BE,

AM=EC

AMEECF中,

∴△AME≌△ECFASA),

AE=EF

3)成立.

證明:如圖,在BA的延長線上取一點(diǎn)N.使AN=CE,連接NE,

BN=BE

∴∠N=NEC=45°,

CF平分∠DCG,

∴∠FCE=45°,

∴∠N=ECF

∵四邊形ABCD是正方形,

ADBE,

∴∠DAE=BEA,即∠DAE+90°=BEA+90°,

∴∠NAE=CEF

∴△ANE≌△ECFASA),

AE=EF

練習(xí)冊系列答案
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2)若商場購進(jìn)這兩種商品共100件,設(shè)購進(jìn)甲種商品x件,兩種商品銷售后可獲總利潤為y元,請寫出yx的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量x的范圍),并指出購進(jìn)甲種商品件數(shù)x逐漸增加時,總利潤y是增加還是減少?

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