Question

如圖：在平面直角坐標系中，點A（-2，0）點B（0，4），OB的垂直平分線CE，與OA的垂直平分線CD相交于點C．
（1）寫出點C的坐標；
（2）證明點C在直線AB上；
（3）在平面直角坐標系內(nèi)是否存在點F，會使得△CDF≌△0AB？若存在直接寫出點的坐標，若沒有請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點A、B的坐標求出OA、OB的長，再根據(jù)線段垂直平分線的定義求出OD、OE的長，然后判斷出四邊形CDOE是矩形，然后寫出點C的坐標即可；
（2）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析求出直線AB的解析式，再把點C的坐標代入驗證即可；
（3）分①點C是直角頂點時，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CF=OB，②點D是直角頂點，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DF=OB，然后分別分兩種情況寫出點F的坐標即可．

解答：解：（1）∵點A（-2，0）點B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∵OB的垂直平分線CE，與OA的垂直平分線CD相交于點C，
∴OD=

1

2

OA=

1

2

×2=1，OE=

1

2

OB=

1

2

×4=2，
∴點C（-1，2）；

（2）設直線AB的解析式為y=kx+b，
則

-2k+b=0 b=4

，
解得

k=2 b=4

，
∴直線AB的解析式為y=2x+4，
當x=-1時，y=2×（-1）+4=-2+4=2，
∴點C（-1，2）在直線AB上；

（3）①點C是直角頂點時，
如圖，∵△CDF≌△0AB，
∴CF=OB=4，
點F在CD右邊時，F(xiàn)₁（3，2），
點F在CD左邊時，F(xiàn)₂（-5，2）；
②點D是直角頂點時，
∵△CDF≌△A0B，
∴DF=OB=4，
點F在CD右邊時，F(xiàn)₃（3，0），
點F在CD左邊時，F(xiàn)₄（-5，0）；
綜上所述，存在點F₁（3，2），F(xiàn)₂（-5，2），F(xiàn)₃（3，0），F(xiàn)₄（-5，0），使得△CDF≌△0AB．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，坐標與圖形，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，難點在于（3）要分情況討論，作出圖形更形象直觀．