Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AB=10，點(diǎn)P在AB的延長線上，直線PC與⊙O交于C、D兩點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，且CE=4，連接AC、OC．
（1）求∠A的余切值；
（2）如果OC平分∠PCE，求CD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)相似三角形的判定得出△ACE∽△CBE，進(jìn)而求出AE即可得出∠A的余切值；
（2）利用角平分線的性質(zhì)得出EO=MO，進(jìn)而利用勾股定理得出CM的值，即可得出CD的長．
解答：解：（1）如圖1，連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠A+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠A=∠BCE，
∴△ACE∽△CBE，
∴=，
∴=，
解得：AE=2或8（結(jié)合圖形，不合題意舍去），
∴∠A的余切值為：cotA===；

（2）如圖2，過點(diǎn)O作OM⊥CD于點(diǎn)M，
∵OC平分∠PCE，CE⊥AO，OM⊥CD，
∴EO=MO，
∵AE=2，∴EO=AO-AE=5-2=3，MO=3，
CO=AB=5，
∴CM==4，
∴CD=4×2=8．
點(diǎn)評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定和銳角三角函數(shù)以及勾股定理等知識，正確作出OM⊥CD這條輔助線得出MO的長度是解題關(guān)鍵．