Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，E，F分別是線段BM，CM的中點(diǎn)．

（1）求證：BM＝CM；

（2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論；

（3）當(dāng)矩形ABCD的長(zhǎng)和寬滿足什么條件時(shí)，四邊形MENF是正方形？為什么？

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）平行四邊形MENF是菱形,見(jiàn)解析；（3）即當(dāng)AD：AB＝2：1時(shí)，四邊形MENF是正方形,理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）證明△ABM≌△DCM即可求解

（2）先證明四邊形MENF是平行四邊形，再根據(jù)（1）中的△ABM≌△DCM可得BM＝CM，即ME＝MF，即可求證平行四邊形MENF是菱形

（3）當(dāng)AD：AB＝2：1時(shí)，易得∠ABM＝∠AMB＝45°，∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，又四邊形MENF是菱形，故可證菱形MENF是正方形，

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，

∵M為AD中點(diǎn)，

∴AM＝DM，

在△ABM和△DCM中，

∴△ABM≌△DCM（SAS），

∴BM＝CM；

（2）四邊形MENF是菱形．

證明：∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點(diǎn)，

∴NE∥CM，NE＝CM，

∵MF＝CM，

∴NE＝FM，

∵NE∥FM，

∴四邊形MENF是平行四邊形，

由（1）知△ABM≌△DCM，

∴BM＝CM，

∵E、F分別是BM、CM的中點(diǎn)，

∴ME＝MF，

∴平行四邊形MENF是菱形；

（3）當(dāng)AD：AB＝2：1時(shí)，四邊形MENF是正方形．

理由：∵M為AD中點(diǎn)，

∴AD＝2AM，

∵AD：AB＝2：1，

∴AM＝AB，

∵∠A＝90°

∴∠ABM＝∠AMB＝45°，

同理∠DMC＝45°，

∴∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，

∵四邊形MENF是菱形，

∴菱形MENF是正方形，

即當(dāng)AD：AB＝2：1時(shí)，四邊形MENF是正方形．