Question

如圖，銳角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為D和E，AP∥BC且與BE的延長線交于P，又邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x²-x+（4m²-4m+2）=0的兩個根
（1）求m的值；
（2）若AF：FD=2，那么點A、C是否關于直線BE對稱？請說明理由，并求AP的值．

Answer 1

解：（1）∵△=（-1）²-4×（4m²-4m+2）=-（2m-1）²≥0，
∴2m-1=0，解得m=；

（2）當m=時，原方程兩根相等，即AB=AC=，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
又∵AP∥BC，AF：FD=2，
∴△AFP∽△DFB，
∴==2，
∴AP=2BD=BC，
連接CP，則PA平行且等于BC，
∴四邊形ABCP為平行四邊形，
∴AE=EC，
即點A、C關于直線BE對稱，
∵BE垂直平分AC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AP=BC=AB=．
分析：（1）由判別式及非負數(shù)的性質可求m的值；
（2）由AB=AC，AD⊥BC可知BD=CD，由AP∥BC，AF：FD=2，得△AFP∽△DFB，利用相似比得AP=2BD=BC，連接CP，證明四邊形ABCP為平行四邊形，可得AE=EC，證明結論，可以得出此時△ABC為等邊三角形，故AP=BC=AB．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，根的判別式，等腰三角形、平行四邊形的判定與性質．關鍵是由判別式及非負數(shù)的性質求m的值，利用平行線證明相似三角形，得出E為AC的中點．