Question

已知等邊△ABC和Rt△DEF按如圖所示的位置放置，點(diǎn)B，D重合，且點(diǎn)E、B（D）、C在同一條直線上．其中∠E=90°，∠EDF=30°，AB=DE=，現(xiàn)將△DEF沿直線BC以每秒個(gè)單位向右平移，直至E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）試求出在平移過(guò)程中，點(diǎn)F落在△ABC的邊上時(shí)的t值；

（2）試求出在平移過(guò)程中△ABC和Rt△DEF重疊部分的面積s與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)D與C重合時(shí)，點(diǎn)H為直線DF上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△DBH繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACK，則是否存在點(diǎn)H使得△BHK的面積為？若存在，試求出CH的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）8或10       （2）s=（12﹣t）²        （3）見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)F在邊AB上時(shí)，如圖（1），作AM⊥BC，則AM=AB=×6=9，

∵AM⊥BC，∠FEB=90°

∴EF∥AM，

∴△BEF∽△BMA，

∴=，即=，解得：BE=2，則移動(dòng)的距離是：6+2=8，則t==8；

當(dāng)F在AC上時(shí)，如圖（2）同理可得：EC=2，則移動(dòng)的距離是：2×6﹣2=12﹣2=10，則t==10，

故t的值是：8或10；

（2）當(dāng)0＜t≤6時(shí)，重合部分是三角形，如圖（3），設(shè)AB與BE交于點(diǎn)N，

則BD=t，

則NB=BD=t，ND=BD=×t=t，則s=NB?ND=×t×t=t²；

當(dāng)6＜t＜10時(shí)，如圖（4），則CD=t﹣6，

∵∠TCB=60°，∠D=30°

∴∠DTC=30°，

∴∠D=∠DTC，

∴TC=CD=t﹣6，

則在直角△THC中，TH=TC=（t﹣6）=t﹣9，

則s=18﹣CD?TH=18﹣（t﹣6）（t﹣9）=﹣（t﹣6）²+18；

當(dāng)10≤t＜12時(shí)，重合部分如圖（5），

EC=12﹣t，

則直角△ECJ中，EJ=EC=（12﹣t），

則s=EC?EJ=×（12﹣t）²=（12﹣t）²．

（3）當(dāng)B，H，K在一條直線上時(shí)，CH=CK=BC?tan30°=6×=6，

設(shè)CH=x，作HL⊥BC于點(diǎn)L，則HL=x，

△CKH是邊長(zhǎng)是x的等邊三角形，則面積是x²，

△BCH的面積是：BC?HL=3×x=x，

△BCK的面積是：3x．

當(dāng)0＜CH＜6時(shí)，△BHK的面積=△BCK的面積﹣△CKH的面積﹣△BCH的面積，即3x﹣x﹣x²=4，方程無(wú)解．

當(dāng)CH＞6時(shí)，△BHK的面積=△CKH的面積+△BCH的面積﹣△BCK的面積，即x²+x﹣3x=4，解得：x=8或﹣2（舍去），故x=8

總之，CH=8．

考點(diǎn)：相似形綜合題；等邊三角形的性質(zhì)；平移的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．5

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)，正確對(duì)t的情況進(jìn)行分類是關(guān)鍵．