Question

已知方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，方程也有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且其兩根介于方程的兩根之間，求k的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

a－4＜k ＜a ² .

【解析】

試題分析：一方面由一元二次方程根的判別式得出k ＜a ²；另一方面由二次函數(shù)y₁＝x ²＋2ax＋a－4和y₂＝x ²＋2ax＋k，它們的對(duì)稱軸相同，且與x軸都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，從而根據(jù)y₂與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)都在y₁與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間得到y(tǒng)₂與y軸的交點(diǎn)在y₁與y軸的交點(diǎn)上方，即k ＞a－4.

試題解析：∵方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

∴△₁＞0，而△₁＝4a ²－4(a－4)＝4(a－)²＋15≥15.

又∵方程x ²＋2ax＋k＝0也有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

∴△₂＝4a ²－4k＞0，即k ＜a ² .

對(duì)于二次函數(shù)y₁＝x ²＋2ax＋a－4和y₂＝x ²＋2ax＋k，它們的對(duì)稱軸相同，且與x軸都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

∵y₂與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)都在y₁與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間，

∴y₂與y軸的交點(diǎn)在y₁與y軸的交點(diǎn)上方，如圖.

∴k ＞a－4 .

∴k的取值范圍是：a－4＜k ＜a ² .

考點(diǎn)：1.一元二次方程根的判別式；2. 一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系；3.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.