已知:如圖,AB為⊙O的弦,過(guò)點(diǎn)O作AB的平行線,交⊙O于點(diǎn)C,直線OC上一點(diǎn)D滿足∠D=∠ACB.
(1)判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)若⊙O的半徑等于4,tan∠ACB=,求CD的長(zhǎng).

【答案】分析:(1)應(yīng)該是相切,連接OB證OB⊥BD即可.本題的基本思路是通過(guò)平行線,弦切角定理,等邊對(duì)等角,來(lái)得出相等的角,然后將這些相等的角進(jìn)行置換,最終轉(zhuǎn)換到一個(gè)三角形中,根據(jù)三角形的內(nèi)角和來(lái)求出度數(shù).從而得出∠OBD=90°的結(jié)論.
(2)有了∠ACB的正切值也就有了∠D的正切值,那么可在直角三角形OBD中,有半徑的長(zhǎng),有∠D的正切值,可用正弦函數(shù)求出OD的長(zhǎng),也就求出了CD的長(zhǎng).
解答:解:(1)直線BD與⊙O相切.
證明:如圖,連接OB.
∵∠OCB=∠CBD+∠D,∠1=∠D,
∴∠2=∠CBD,
∵AB∥OC,
∴∠2=∠A,
∴∠A=∠CBD.
∵OB=OC,
∴∠BOC+2∠3=180°.
∵∠BOC=2∠A,
∴∠A+∠3=90°.
∴∠CBD+∠3=90°.
∴∠OBD=90°.
∴直線BD與⊙O相切.

(2)∵∠D=∠ACB,tan∠ACB=,
∴tanD=
∵∠OBD=90°,OB=4,tanD=,
∴sinD=,OD==5.
∴CD=OD-OC=1.
點(diǎn)評(píng):本題考查的是切線的判定以及解直角三角形,要證某線是圓的切線,已知此線過(guò)圓上某點(diǎn),連接圓心和這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可.
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AD
=
DC
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