Question

已知拋物線．

�。�1）求拋物線頂點M的坐標(biāo)；

�。�2）若拋物線與x軸的交點分別為點A、B（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q．當(dāng)點N在線段BM上運動時（點N不與點B，點M重合），設(shè)NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；

　（3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使△PAC為直角三角形?若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線∴頂點M的坐標(biāo)為．

（2）拋物線與與x軸的兩交點為A(-1,0) ，B（2，0）．

設(shè)線段BM所在直線的解析式為．

∴解得 ∴線段BM所在直線的解析式為．  

設(shè)點N的坐標(biāo)為．∵點N在線段BM上，∴. ∴．

∴S_{四邊形NQAC}＝S_△AOC＋S_梯形OQNC．

∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為，自變量t的取值范圍為．

（3）假設(shè)存在符合條件的點P，設(shè)點P的坐標(biāo)為P（m，n），則且．

，，．

分以下幾種情況討論：

①若∠PAC＝90°，則．∴

解得， ．∵ ．∴．∴．          

②若∠PCA＝90°，則．∴

解得，．∵，∴．∴．

當(dāng)點P在對稱軸右側(cè)時，PA＞AC，所以邊AC的對角∠APC不可能是直角．

∴存在符合條件的點P，且坐標(biāo)為，．