Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+bx-2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；
（3）點(diǎn)M（m，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MC+MD的值最小時(shí)，求m的值．

Answer 1

分析：（1）把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，求b的值，即可得出拋物線的解析式，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，推出AC²=OA²+OC²=5，BC²=OC²+OB²=20，即AC²+BC²=25=AB²，即可確定△ABC是直角三角形；
（3）作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，則C′（0，2），OC'=2．連接C'D交x軸于點(diǎn)M，根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC+MD的值最�。�首先確定最小值，然后根據(jù)三角形相似的有關(guān)性質(zhì)定理，求m的值

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（-1，0）在拋物線y=

1

2

x²+bx-2上，
∴

1

2

×（-1 ）²+b×（-1）-2=0，解得b=-

3

2

∴拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

3

2

x-2．
y=

1

2

x²-

3

2

x-2
=

1

2

（ x²-3x-4 ）
=

1

2

（x-

3

2

）²-

25

8

，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 （

3

2

，-

25

8

）．

（2）當(dāng)x=0時(shí)y=-2，∴C（0，-2），OC=2．
當(dāng)y=0時(shí)，

1

2

x²-

3

2

x-2=0，∴x₁=-1，x₂=4，∴B （4，0）
∴OA=1，OB=4，AB=5．
∵AB²=25，AC²=OA²+OC²=5，BC²=OC²+OB²=20，
∴AC²+BC²=AB²．∴△ABC是直角三角形．

（3）作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，則C′（0，2），OC′=2，
連接C′D交x軸于點(diǎn)M，根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC+MD的值最�。�
解法一：設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E．
∵ED∥y軸，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM．
∴

OM

EM

=

OC′

ED

∴

m

3 2 -m

=

2

25 8

，
∴m=

24

41

．

解法二：設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+n，
則

n=2 3 2 k+n=- 25 8

，
解得：

n=2 k=- 41 12

．
∴y=-

41

12

x+2．
∴當(dāng)y=0時(shí)，-

41

12

x+2=0，x=

24

41

．
∴m=

24

41

．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、直角三角形的性質(zhì)及判定、軸對(duì)稱性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于求出函數(shù)表達(dá)式，作出輔助線，找對(duì)相似三角形．