Question

已知拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過A（-3，0），B（-1，0）兩點如圖1，頂點為M．
（1）a、b的值；
（2）設(shè)拋物線與y軸的交點為Q如圖1，直線y=-2x+9與直線OM交于點D．現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線OD上．當拋物線的頂點平移到D點時，Q點移至N點，求拋物線上的兩點M、Q間所夾的曲線掃過的區(qū)域的面積；
（3）設(shè)直線y=-2x+9與y軸交于點C，與直線OM交于點D如圖2．現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線OD上．若平移的拋物線與射線CD（含端點C）沒有公共點時，試探求其頂點的橫坐標的取值范圍；
（4）如圖3，將拋物線平移，當頂點M移至原點時，過點Q（0，3）作不平行于x軸的直線交拋物線于E，F(xiàn)兩點．試探究：在y軸的負半軸上是否存在點P，使得∠EPQ=∠QPF？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過A（-3，0），B（-1，0）兩點：
∴解得：a=1，b=4，
（2）由 （1）求得拋物線的解析式為y=x²+4x+3，
配方得y=（x+2）²-1
∴拋物線的頂點M（-2，-1），
∴直線OD的解析式為y=x，
由方程組 ，解得：，
∴D（，）
如圖1，由平移的性質(zhì)知，拋物線上的兩點M、Q間所夾的曲線掃過的區(qū)域的面積即為平行四邊形MDNQ的面積，連接QD，
∴S_{平行四邊形MDNQ}=2S_△MDQ=2（S_△OQM+S_△OQD）==；
（3）由（2）知拋物線的頂點M（-2，-1），直線OD的解析式為y=x，于是設(shè)平移的拋物線的頂點坐標為（h，h），
∴平移的拋物線解析式為y=（x-h）²+h．
①當拋物線經(jīng)過點C時，
∵C（0，9），
∴h²+h=9，解得 ．
∴當 時，平移的拋物線與射線CD沒有公共點．
②當拋物線與直線CD沒有公共點時，由方程組，
消去y得：，
∴△=，
∴h＞4．
此時拋物線y=（x-4）²+2與直線CD沒有公共點．從而與射線CD沒有共公點．
綜上由①、②可知：平移后的拋物線與射線CD沒有公共點時，頂點橫坐標的取值范圍是：或h＞4
（4）將拋物線平移，當頂點至原點時，其解析式為y=x²，
設(shè)EF的解析式為y=k x+3（k≠0）．假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點P（0，t）過P作GH∥x軸，分別過E，F(xiàn)作GH的垂線，
垂足為G，H（如圖2）．
∵∠EPQ=∠QPF，
∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，
∴△GEP∽△HFP，
∴，
∴
∴2k x _E•x _F=（t-3）（x _E+x _F）
由． 得x²-kx-3=0．
∴x_E+x_F=k，x_E•x_F=-3．
∴2k（-3）=（t-3）k
∵k≠0，
∴t=-3．
∴y軸的負半軸上存在點P（0，-3），使∠EPQ=∠QPF．
分析：（1）將已知的兩點的坐標代入二次函數(shù)的解析式利用待定系數(shù)法求得a、b的值即可；
（2）首先將求得的拋物線的解析式利用配方法求得其頂點坐標，然后求得D點的坐標，3然后利用平移的性質(zhì)即可求得平行四邊形MDNQ的面積；
（3）由（2）知拋物線的頂點M（-2，1），直線OD的解析式為y=x，于是設(shè)平移的拋物線的頂點坐標為（h，h），從而確定平移的拋物線解析式為y=（x-h）²+h．然后分當拋物線經(jīng)過點C和當拋物線與直線CD沒有公共點兩種情況求得h的值或取值范圍即可；
（4）將拋物線平移，當頂點至原點時，其解析式為y=x²，設(shè)EF的解析式為y=k x+3（k≠0）．假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點P（0，t）過P作GH∥x軸，分別過E，F(xiàn)作GH的垂線通過證明△GEP∽△HFP得到比例式求得t值即可存在，否則就不存在．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點的求法等知識點．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．