Question

星期天，李大爺帶著小孫子在公園放風(fēng)箏，風(fēng)箏從A處起飛，幾分鐘后便飛達(dá)C處，此時(shí)站在AQ延長(zhǎng)線上B處的小孫子發(fā)現(xiàn)自己的位置與風(fēng)箏和一燈桿PQ的頂點(diǎn)P在同一直線上．已知燈桿高為10m，若在B處測(cè)及燈桿頂點(diǎn)P的仰角為30°，A處測(cè)得點(diǎn)P的仰角為45°，在A處背向旗桿又測(cè)得風(fēng)箏的仰角為75°，若繩子在空中視為一條線段，求繩子AC長(zhǎng)為多少m？（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析：過(guò)點(diǎn)A作AD垂直BC交BC于點(diǎn)D，在RT△PQD中求出BQ，在RT△PQA中求出AQ，在RT△BAD中求出AD，然后利用三角形的外角的知識(shí)求出∠C的度數(shù)，在RT△ACD中可求出AC．

解答：解：過(guò)點(diǎn)A作AD垂直BC交BC于點(diǎn)D，

由題意得，PQ=10m，∠B=30°，∠PAQ=45°，∠CAE=75°，
在RT△PQB中，可得BQ=

PQ

tan∠B

=10

3

m；
在RT△PQA中，可得AQ=

PQ

tan∠PAQ

=10m，
故AB=BQ+QA=（10+10

3

）m，
在RT△ABD中，可得AD=AB×sin∠B=（5+5

3

）m，
又∵∠CAE=75°，
∴∠C=∠CAE-∠B=45°，
在RT△ACD中，AC=

AD

sin∠C

=（5

2

+5

6

）m．
答：繩子AC的長(zhǎng)度為（5

2

+5

6

）m．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題需要我們構(gòu)造直角三角形，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，有一定難度．