Question

如圖，已知一次函數(shù)y=-x +7與正比例函數(shù)y=x的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B.

（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作直線l∥y軸．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長的速度，沿O—C—A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
①當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？
②是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）A(3，4) ，B（7，0）；（2）①t=2；②t=1或或5或

試題分析：（1）根據(jù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法直接得出即可，再利用直線交點(diǎn)坐標(biāo)求法將兩直線解析式聯(lián)立即可得出交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①利用S_梯形ACOB-S_△ACP-S_△POR-S_△ARB=8，表示出各部分的邊長，整理出一元二次方程，求出即可；
②根據(jù)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)得出，∠OBN=∠ONB=45°，進(jìn)而利用勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的判定求出即可．
（1）由題意得，解得，
∴A(3，4)
令y=-x+7=0，得x=7
∴B（7，0）
（2）①當(dāng)P在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤t＜4時(shí)，PO=t，PC=4-t，BR=t，OR=7-t，
∵當(dāng)以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8，


∴（AC+BO）×CO-AC×CP-PO×RO-AM×BR=16，
∴（3+7）×4-3×（4-t）-t×（7-t）-4t=16，
∴t²-8t+12=0，
解得：t₁=2，t₂=6（舍去），
當(dāng)P在CA上運(yùn)動(dòng)，4≤t＜7.
由S_△APR=×(7-t)×4=8，得t=3（舍）
∴當(dāng)t=2時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8.
②當(dāng)P在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤t＜4.
∴AP= ，AQ= t，PQ=7-t
當(dāng)AP =AQ時(shí)， （4-t）²+3²=2(4-t)²,
整理得，t²-8t+7="0." ∴t="1," t=7(舍)
當(dāng)AP=PQ時(shí)，（4-t）²+3²=(7-t)²,
整理得，6t="24." ∴t=4(舍去)
當(dāng)AQ=PQ時(shí)，2（4-t）²=(7-t)²
整理得，t²-2t-17="0" ∴t=1±3(舍)
當(dāng)P在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，4≤t＜7. 過A作AD⊥OB于D，則AD=BD=4
設(shè)直線l交AC于E，則QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t.P點(diǎn)坐標(biāo)（t-4,4）
點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為7-t,帶入到直線y=x中，得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為
AQ= 
PQ=
當(dāng)AP=AQ時(shí)，，解得 
當(dāng)AQ=PQ時(shí)，AE＝PE，即AE=AP
得，解得t=5.
當(dāng)AP=PQ時(shí)，過P作PF⊥AQ于F
 
即，解得
∴綜上所述，t=1或或5或時(shí)，△APQ是等腰三角形.
點(diǎn)評：此題綜合性較強(qiáng)，利用函數(shù)圖象表示出各部分長度，再利用勾股定理求出是解決問題的關(guān)鍵．