Question

如圖1，在平面直角坐標系中，等腰Rt△AOB的斜邊OB在x軸上，直線y=3x-4經(jīng)過等腰Rt△AOB的直角頂點A，交y軸于C點，雙曲線y=

k

x

（x＞0）也恰好經(jīng)過點A．
（1）求k的值；
（2）如圖2，過O點作OD⊥AC于D點，求CD²-AD²的值；
（3）如圖3，點P為x軸上一動點．在（1）中的雙曲線上是否存在一點Q，使得△PAQ是以點A為直角頂點的等腰三角形．若存在，求出點P、點Q的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點A分別作AM⊥y軸于M點，AN⊥x軸于N點．由于△AOB是等腰直角三角形，得出AM=AN，即點A的橫坐標與縱坐標相等．設點A的坐標為（a，a），又點A在直線y=3x-4上，列出關于a的方程，求出a的值，進而得到k的值；
（2）由（1）知點A的坐標為（2，2），根據(jù)勾股定理得出AO²=AM²+MO²=8．由點C為直線y=3x-4與y軸的交點，得出OC²=16．根據(jù)勾股定理及等式的性質(zhì)得出CD²-AD²=OC²-OA²=8；
（3）如果過B作BQ⊥x軸交雙曲線于Q點，連接AQ，過A點作AP⊥AQ交x軸于P點．由ASA易證△AOP≌△ABQ，得出AP=AQ，那么△APQ是所求的等腰直角三角形．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及函數(shù)圖象與點的坐標的關系得出結果．

解答：解：（1）過點A分別作AM⊥y軸于M點，AN⊥x軸于N點，△AOB是等腰直角三角形，
∴AM=AN．
∴可設點A的坐標為（a，a），點A在直線y=3x-4上，
∴a=3a-4，
解得a=2，
則點A的坐標為（2，2）．
將點A（2，2）代入反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

，
求得k=4．
則反比例函數(shù)的解析式為y=

4

x

．

（2）點A的坐標為（2，2），在Rt△AMO中，AO²=AM²+MO²=4+4=8．
∵直線AC的解析式為y=3x-4，則點C的坐標為（0，-4），OC=4．
在Rt△COD中，OC²=OD²+CD²（1）；
在Rt△AOD中，AO²=AD²+OD²（2）；
（1）-（2），得CD²-AD²=OC²-OA²=16-8=8．

（3）雙曲線上是存在一點Q（4，1），使得△PAQ是等腰直角三角形．過B作BQ⊥x軸交雙曲線于Q點，連接AQ，過A點作AP⊥AQ交x軸于P點，則△APQ為所求作的等腰直角三角形．
在△AOP與△ABQ中，∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB，
∴∠OAP=∠BAQ，
AO=BA，∠AOP=∠ABQ=45°，
∴△AOP≌△ABQ（ASA），
∴AP=AQ，
∴△APQ是所求的等腰直角三角形．
∵B（4，0），點Q在雙曲線y=

4

x

上，
∴Q（4，1），則OP=BQ=1．
則點P、Q的坐標分別為（1，0）、（4，1）．

點評：本題考查反比例函數(shù)解析式的確定、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．