如圖:平面直角坐標系中,△ABC的三個頂點的坐標為A(a,0),B(b,0),C(0,c),且a,b,c滿足
a+2
+|b-2|+(c-b)2=0
.點D為線段OA上一動點,連接CD.
(1)判斷△ABC的形狀并說明理由;
(2)如圖,過點D作CD的垂線,過點B作BC的垂線,兩垂線交于點G,作GH⊥AB于H,求證:
S△CAD
S△DGH
=
AD
GH
;
(3)如圖,若點D到CA、CO的距離相等,E為AO的中點,且EF∥CD交y軸于點F,交CA于M.求
FC+2AE
3AM
的值.
分析:(1)根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)建立一個方程組,求出其解就可以得出A、B、C的坐標,從而可以求出OA、OB、OC的值,由勾股定理的逆定理就可以求出△ABC的形狀.
(2)由條件可以得出∠DCO=∠GDH,就有tan∠DCO=tan∠GDH,設OD=b,BH=a,則HO=2-a,根據(jù)
b
2
=
a
b+2-a
,就可以求出a、b的關系從而得出OC=DH,最后根據(jù)三角形的面積公式就可以求出結(jié)論.
(3)過點D作DG⊥AC于G,設DO=x,在Rt△AGD中由勾股定理可以得出x=2
2
-2,進而可以求出AD、ED的值,再由相似三角形的性質(zhì)就可以得出CF、AM的值,從而可以求出
FC+2AE
3AM
的值.
解答:解:(1)∵
a+2
+|b-2|+(c-b)2=0
,
a+2
=0
|b-2|=0
(c-b)2=0
,
a=-2
b=2
c=2

∵A(a,0),B(b,0),C(0,c),
∴A(-2,0),B(2,0),C(0,2),
∴AO=2,BO=2,CO=2,
∴AB=4,
∴AB2=16
在Rt△AOC和Rt△BOC中,由勾股定理可以得出
AC2=8,BC2=8,
∴AC=BC,AC2+BC2=16,
∴AB2=AC2+BC2
∴△ABC是等腰直角三角形.

(2)∵GD⊥CD,GB⊥BC,GH⊥AB,
∴∠CDG=∠CBG=∠GHD=90°.
∴∠CDO+∠GDO=∠CDO+∠DCO=90°,
∴∠DCO=∠GDH,
∴tan∠DCO=tan∠GDH.
設OD=b,BH=a,則HO=2-a,
∵tan∠DCO=
b
2
,tan∠GDH=
a
b+2-a

b
2
=
a
b+2-a
,
∴b2+(2-a)b-2a=0
∴(b-a)(b+2)=0,
∴b=a,b=-2
∵b>0
∴b=-2(不符合題意,舍去),
∴b=a,
∴DH=2-a+a=2,
∴DH=CO.
∵S△CAD=
AD•CO
2
,S△GHD=
DH•GH
2
,
S△CAD
S△DGH
=
AD•CO
2
DH•GH
2

S△CAD
S△DGH
=
AD•CO
DH•GH
,
∵DH=CO,
S△CAD
S△DGH
=
AD
GH
;

(3)如圖2,過點D作DG⊥AC于G,
∴∠AGD=90°,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠GAD=45°,
∴∠ADG=45°,
∴∠GAD=∠ADG,
∴AG=GD.
∵DG=DO,
∴OD=GD=AG.
設DO=x,AD=2-x,在Rt△AGD中,由勾股定理,得
AD2=AG2+GD2,
(2-x)2=x2+x2,
x=2
2
-2.
∴DO=2
2
-2
∵E為AO的中點,
∴AE=EO=1,
∴ED=3-2
2
,AD=4-2
2

∵DC∥EF,
DO
ED
=
CO
CF
AE
AD
=
AM
AC
,
2
2
-2
3-2
2
=
2
CF
,
1
4-2
2
=
AM
2
2

∴FC=
2
-1,AM=
2
+1,
FC+2AE
3AM
=
2
-1+2×1
3(
2
+1)
=
1
3

答:
FC+2AE
3AM
的值是
1
3
點評:本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)的運用,等腰直角三角形的判定及性質(zhì)的運用,勾股定理的運用,全等三角形的判定及性質(zhì)的運用,正切值的判定及運用,平行線分線段成比例定理的運用,解答本題時注意三個問題是遞進關系,必須逐一解決,利用全等三角形的性質(zhì)是解答第二問的關鍵,利用平行線分線段成比例定理是求出線段長短的關鍵.
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1x
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