Question

已知：⊙O的面積為4π，△ABC內(nèi)接于⊙O，a、b、c分別是三角形三個內(nèi)角∠A、∠B、∠C的對邊的長，關(guān)于x的方程（a+c）x²-2bx+c-a=0有兩個相等的實數(shù)根，cosA，cosB是二次函數(shù)y=[m-（）]x²-[m+（）]x+的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標．求△ABC三邊的長．

Answer 1

【答案】分析：先由關(guān)于x的方程（a+c）x²-2bx+c-a=0有兩個相等的實數(shù)根，得到判別式△=0，進而得到a²+b²=c²，根據(jù)勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再利用互余兩角三角函數(shù)之間的關(guān)系得到sinA=cosB，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求得m的值；將m的值代入方程[m-（）]x²-[m+（）]x+=0，解方程求出x的值，由圓的面積公式求出△ABC的外接圓半徑R，得到斜邊為2R，進而求得兩直角邊的長度．
解答：解：∵關(guān)于x的方程（a+c）x²-2bx+c-a=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴（-2b）²-4（a+c）（c-a）=0，
整理，得a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinA=cosB．
∵cosA，cosB是二次函數(shù)y=[m-（）]x²-[m+（）]x+的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標，
∴sinA、cosA是關(guān)于x的方程[m-（）]x²-[m+（）]x+=0的兩個根，
∴，
又∵sin²A+cos²A=1，
∴（sinA+cosA）²-2sinA•cosA=1，
∴（）²-2×=1，
整理，得（4-2）m=6-2，
解得m=3+，
經(jīng)檢驗，m=3+是原方程的根，
當(dāng)m=3+時，原方程變?yōu)?x²-（2+2）x+=0，
解得x₁=，x₂=，
∵△ABC的外接圓面積為4π，
∴外接圓半徑R=2，
∴斜邊c=4．
∴另外兩直角邊為2，2．
點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，互余兩角、同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性較強，難度適中．