Question

如圖，在長方形ABCD中，O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，P是AB上任意一點(diǎn)，Q是OC上任意一點(diǎn)，已知：AC=2，BC=1．
（1）求折線OPQB的長的最小值；
（2）當(dāng)折線OPQB的長最小時(shí)，試確定Q的位置．

Answer 1

解：（1）作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，作點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)O′，
連接AB′，QB′，AO′，PO′，B′O′，則QB=QB′，OP=O′P，
折線OPQB的長=OP+PQ+QB=O′P+PQ+QB′，
∴折線OPQB的長的最小值=B′O′．
∵在長方形ABCD中，∠ABC=90°，
在△ABC中，AC=2，BC=1，∠ABC=90°，
∴∠BAC=30°，
∵點(diǎn)B、B′關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)O、O′關(guān)于AB對(duì)稱，
∴∠B′AC=30°，AB′=AB=，∠O′AB=30°，AO′=AO=1，
∴∠B′AO′=90°，
∴B′O′=，
∴折線OPQB的長的最小值=2；

（2）設(shè)B′O′交AC于點(diǎn)Q′，
∵在Rt△AO′B′中，AO′=1，B′O′=2，
∴∠AB′O′=30°，則∠AO′B′=60°，
∵在△AO′Q′中，∠Q′AO′=∠Q′AB+∠BAO′=60°，
∴△AO′Q′是等邊三角形，
∴AQ′=AO′=1=AO，
∴點(diǎn)Q′就是AC的中點(diǎn)O．
∴當(dāng)折線OPQB的長最小時(shí)，點(diǎn)Q在AC的中點(diǎn)．
分析：（1）先作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，作點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)O′，連接AB′，QB′，AO′，PO′，B′O′，則QB=QB′，OP=O′P，有兩點(diǎn)之間線段最短可知折線OPQB的長的最小值=B′O，再由軸對(duì)稱的性質(zhì)及勾股定理即可求出B′O的長，即折線OPQB的長的最小值；
（2）設(shè)B′O′交AC于點(diǎn)Q′，再由正方形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理判斷出△AO′Q′是等邊三角形，由等邊三角形三線合一的性質(zhì)即可解答．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是最短線路問題及正方形的性質(zhì)，解答此類題目的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用正方形及等邊三角形的性質(zhì)求解．