Question

如圖所示，已知AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，AB=10，CD=6，E是AB延長線上一點，BE=

10

3

．判斷直線DE與半圓O的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：直線DE與半圓O相切．連接OD，作OF⊥CD于點F，作DG⊥OE于點G．通過勾股定理求得OF的長，由已知可得到四邊形OFDG是矩形，從而便可求得DG，GE的長，再通過勾股定理判定CD⊥DE，從而證明得到直線DE與半圓O相切．

解答：解：直線DE與半圓O相切．（1分）
證法一：
連接OD，作OF⊥CD于點F．
∵CD=6，
∴DF=

1

2

CD=3．（2分）
∵OE=OB+BE=5+

10

3

=

25

3

．（3分）
∴

DF

OD

=

3

5

，

OD

OE

=

5

25 3

=

3

5

，
∴

DF

OD

=

OD

OE

．（6分）
∵CD∥AB，
∴∠CDO=∠DOE．（7分）
∴△DOF∽△OED，（8分）
∴∠ODE=∠OFD=90°，
∴OD⊥DE，
∴直線DE與半圓O相切．（10分）

證法二：連接OD，作OF⊥CD于點F，作DG⊥OE于點G．
∵CD=6，
∴DF=

1

2

CD=3．
在Rt△ODF中，OF=

OD2-DF2

=

52-32

=4，（3分）
∵CD∥AB，DG⊥AB，OF⊥CD，
∴四邊形OFDG是矩形，
∴DG=OF=4，OG=DF=3．
∵OE=OB+BE=5+

10

3

=

25

3

，GE=OE-OG=

25

3

-3=

16

3

，（5分）
在Rt△DGE中，DE=

DG2+GE2

=

42+( 16 3 )2

=

20

3

．
∵(

20

3

)2+52=(

25

3

)2，
∴OD²+DE²=OE²，（8分）
∴CD⊥DE．
∴直線DE與半圓O相切．（10分）

點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．