Question

如圖，在邊長為12個(gè)單位的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿正方形的邊按B→C→D→A運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿正方形的邊按C→D→A運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）；
（1）直接寫出：當(dāng)t的取值在什么范圍時(shí)，點(diǎn)P、點(diǎn)Q在正方形的同一條邊上運(yùn)動(dòng)？
（2）若點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，且AP=AQ，試求t的值；
（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中（不包括起點(diǎn)），要使△APQ是直角三角形，試求出所有符合條件的t的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度即可得到時(shí)間的取值范圍；
（2）根據(jù)AP=AQ，AB=AD，判定Rt△ABP≌Rt△ADQ，從而得到BP=DQ，即3t=12-2t，并據(jù)此求得t值；
（3）分當(dāng)0≤t≤4、4＜t≤6、6＜t＜8三種情況討論即可得到符合條件的t值．

解答：解：（1）當(dāng)4≤t≤6或8≤t≤12時(shí)，
點(diǎn)P、點(diǎn)Q在正方形的同一條邊上運(yùn)動(dòng)；

（2）在Rt△ABP與Rt△ADQ中，
∵AP=AQ，AB=AD，
∴Rt△ABP≌Rt△ADQ，
∴BP=DQ，即3t=12-2t，
∴t=

12

5

；

（3）當(dāng)0＜t≤4時(shí)，∠PAQ不可能是直角；
若∠APQ=90°，可得：Rt△ABP∽R(shí)t△PCQ，
則

AB

PC

=

BP

CQ

，即

12

12-3t

=

3t

2t

，
解得：t=

4

3

；
若∠AQP=90°，如答圖，可得：Rt△ADQ∽R(shí)t△QCP，
則

AD

QC

=

DQ

PC

，即

12

2t

=

12-2t

12-3t

，
解得：t₁=3，t₂=12，而t₂=12不合題意，舍去；
當(dāng)4＜t≤6時(shí)，只有當(dāng)t=6時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)D處，點(diǎn)P在CD上，得△APQ是直角三角形；
當(dāng)6＜t＜8時(shí)，△APQ必定是鈍角三角形，不可是直角三角形；
綜上所述，當(dāng)t=

4

3

或t=3或t=6時(shí)，△APQ是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理及正方形的性質(zhì)的知識(shí)，特別是題目中涉及的動(dòng)點(diǎn)問題，對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn)．