Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于C，D兩點(diǎn)，與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，連接OC，OD（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）．
①利用圖中條件，求反比例函數(shù)的解析式和m的值；
②當(dāng)x＞0時(shí)，雙曲線上是否存在一點(diǎn)P，使得△POC和△POD的面積相等？若存在，給出證明并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：①根據(jù)一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于C，D兩點(diǎn)，由C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），得出反比例函數(shù)的解析式即可；再利用D點(diǎn)坐標(biāo)（4，m）代入解析式求出即可；
②雙曲線上存在點(diǎn)P，使得S_△POC=S_△POD，這個(gè)點(diǎn)就是∠COD的平分線與雙曲線的y=

4

x

交點(diǎn)，易證△POC≌△POD，則S_△POC=S_△POD．

解答：解：①∵一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于C，D兩點(diǎn)，
由C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
∴反比例函數(shù)的解析式為：xy=4，
即y=

4

x

；
把D點(diǎn)坐標(biāo)（4，m）代入解析式得出：m=1；

②雙曲線上存在點(diǎn)P（2，2），使得S_△POC=S_△POD，理由如下：
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，4），D點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，1），
∴OD=OC=

17

，
∴當(dāng)點(diǎn)P在∠COD的平分線上時(shí)，∠COP=∠POD，又OP=OP，
∴△POC≌△POD，
∴S_△POC=S_△POD．
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，4），D點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，1），
可得∠COB=∠DOA，
又∵這個(gè)點(diǎn)是∠COD的平分線與雙曲線的y=

4

x

交點(diǎn)，
∴∠BOP=∠POA，
∴P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)坐標(biāo)相等，
即xy=4，x²=4，
∴x=±2，
∵x＞0，
∴x=2，y=2，
故P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），使得△POC和△POD的面積相等．

點(diǎn)評：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及角平分線的性質(zhì)，把結(jié)論轉(zhuǎn)化為方程的問題是解題關(guān)鍵．