(2011•臺州模擬)在□ABCD中,已知AB=5,BC=2
2
,∠A=45°,以AB所在直線為x軸,A為坐標原點建立直角坐標系,將□ABCD繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到□OEFG(圖1)
(1)直接寫出C﹑F兩點的坐標.
(2)沿x軸的負半軸以1米/秒的速度平行移動,設移動后x秒(圖2),□ABCD與□OEFG重疊部分的面積為y,當點D移動到□OEFG的內(nèi)部時,求y與x之間的關(guān)系式.
(3)若□ABCD與□OEFG同時從O點出發(fā),分別沿x軸、y軸的負半軸以1米/秒的速度平行移動,設移動后x秒(如圖3),□ABCD與□OEFG重疊部分的面積為y,當點D移動到□O'EFG的內(nèi)部時,求y與x之間的關(guān)系式,并求出重疊部分面積的最大值.
分析:(1)根據(jù)勾股定理和坐標知識可求出C,F(xiàn)的坐標.
(2)因為∠DAB=∠GOA=45°,以及重疊部分的面積可用四邊形AOHD和三角形AOF的面積來表示出來,從而可求出解析式.
(3)先求出表示面積的解析式,然后根據(jù)函數(shù)的最值求解.
解答:解:(1)C(7,2),F(xiàn) (-2,7)(4分)(2)設AD、DC分別與OG、OE交于點F、H
∵∠DAB=∠GOA=45°S?OHDF=S?AOHD-S△AOF
∴OF=AF=
2
2
OA=
2
2
x,OH=2,DH=x-2
即y=
1
2
(DH+AO)•OH-
1
2
AF•?OFy=
1
2
(x+x-2)•×2-
1
2
×(
2
x
2
)2
=-
1
4
x2
+2x-2(2<x<4)(8分)
(3)①當2<x≤3時,DE=x-2,OA=x,
∴y=
1
2
(x+x-2)×2-
1
2
(x-2)2

y=-
1
2
x2+4x-4=-
1
2
(x-4)2
+4
當x=3時,ymax=4-
1
2
=
7
2

∴移動后3秒時,重疊部分面積的最大值是
7
2
(11分)
②當3<x<4時,延長CD與FG交于點Q,
QM=DQ=QN-MN,即QM=DQ=2-(x-2)=4-x
PJ=EJ=x+2-5=x-3,
∴y=2×2-
1
2
(4-x)2-
1
2
(x-3)2
y=-x2+7x-
17
2
=-(x-
7
2
)2+
15
4

當x=
7
2
時,ymax=
15
4

∴移動后
7
2
秒時,重疊部分面積的最大值是
15
4
(13分)
綜上①②所述,同時從O點移動
7
2
秒時,重疊部分面積的最大值是
15
4
(14分)
點評:本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),平移的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì)和最值的求法以及平行四邊形的性質(zhì)等知識點.
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8
×
2
=
4
4

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