Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，將直線沿軸向下平移兩個(gè)單位得到直線，直線與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)，求直線的解析式；

（3）在（2）的條件下，求到直線距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意得解得

所以拋物線的解析式為。

（2）由得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為。

依題意，可得，且直線過(guò)原點(diǎn)。

設(shè)直線的解析式為。

則，解得。

所以直線的解析式為。

（3）到直線距離相等的點(diǎn)有四個(gè)。

如圖，由勾股定理得，所以為等邊三角形。

易證軸所在直線平分，軸是的一個(gè)外角的平分線。

作的平分線，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，作的相鄰?fù)饨堑钠椒志�，交軸于點(diǎn)，反向延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)。

可得點(diǎn)就是到直線OB，OC，BC距離相等的點(diǎn)。

可證，，均為等邊三角形。

可求得：

①，所以點(diǎn)M₁的坐標(biāo)為。

②點(diǎn)M₂與點(diǎn)A重合，所以點(diǎn)M₂的坐標(biāo)為（0，2）。

③點(diǎn)M₃與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，所以點(diǎn)M₃的坐標(biāo)為（0，-2）。

④設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為N。

，且ON=M₄N，所以點(diǎn)M₄的坐標(biāo)為。

綜上所述，到直線OB，OC，BC距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，M₂（0，2），，。