Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=11．直角尺的直角頂點(diǎn)P在AD上滑動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與A，D不重合），一直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)C，另一直角邊與AB交于點(diǎn)E．
（1）△CDP與△PAE相似嗎？如果相似，請(qǐng)寫出證明過程；
（2）當(dāng)∠PCD=30°時(shí)，求AE的長(zhǎng)；
（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△CDP的周長(zhǎng)等于△PAE周長(zhǎng)的2倍？若存在，求DP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，推出∠D=∠A=90°，再由直角三角形的性質(zhì)，得出∠PCD+∠DPC=90°，又因∠CPE=90°，推出∠EPA+∠DPC=90°，∠PCD=∠EPA，從而證明△CDP∽△PAE；
（2）由△CDP∽△PAE得出∠EPA=∠PCD=30°，由角的正切值定理知AE=AP•tan∠EAP，代入相應(yīng)的數(shù)據(jù)即可求得答案；
（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，設(shè)DP=x，則AP=11-x，由△CDP∽△PAE知，解得x=8，此時(shí)AP=3，AE=4．
解答：（1）△CDP∽△PAE．（1分）
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，（2分）
∴∠PCD+∠DPC=90°，（3分）
又∵∠CPE=90°，
∴∠EPA+∠DPC=90°，（4分）
∴∠PCD=∠EPA，（5分）
∴△CDP∽△PAE．（6分）

（2）在Rt△PCD中，由tan∠PCD=，（7分）
∴，（8分）
∴，（9分）
解法1：由△CDP∽△PAE知：，
∴，（10分）
解法2：由△CDP∽△PAE知：∠EPA=∠PCD=30°，
∴；（10分）

（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，設(shè)DP=x，則AP=11-x，
∵△CDP∽△PAE，
根據(jù)△CDP的周長(zhǎng)等于△PAE周長(zhǎng)的2倍，得到兩三角形的相似比為2，
∴即，（11分）
解得x=8，
此時(shí)AP=3，AE=4．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查矩形的性質(zhì)以及三角形的相似性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．