Question

已知x，y都是實數，且

8-2(x+3)

與（2y-4）²互為相反數，
①求x，y的值，并寫出以x，y為邊的等腰三角形的周長；
②求

1

xy

+

1

(x+1)(y+1)

+

1

(x+2)(y+2)

+…+

1

(x+2005)(y+2005)

的值．

Answer 1

分析：①先根據互為相反數的兩個數的和為0，得

8-2(x+3)

+（2y-4）²=0，再根據非負數的意義，列方程組求出x、y的值；然后由等腰三角形的性質求出其周長；
②先將x=1，y=2代入所求代數式，再根據

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

把每一個分數寫成兩個分數的差，然后化簡即可．

解答：解：①依題意，得

8-2(x+3)

+（2y-4）²=0，
∴

8-2(x+3)=0 2y-4=0

，
解得

x=1 y=2

．
當腰長為1時，不滿足三角形三邊關系定理，故腰長為2，此時，周長=2+2+1=5；

②∵x=1，y=2，
∴原式=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2006×2007

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2006

-

1

2007

）
=1-

1

2007

=

2006

2007

．

點評：本題考查了相反數的定義，非負數的性質，二元一次方程組的解法，等腰三角形的性質，三角形三邊關系定理及有理數的運算，涉及的知識點較多，難度中等．