Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)C(0，4)，點(diǎn)A、B在x軸上，并且OA＝OC＝4OB，動(dòng)點(diǎn)P在過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線上．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)在直線AC上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使得△PAC的面積最大？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)及ΔPAC面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(3)在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2＋3x＋4；(2)存在, 當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6）時(shí)，ΔPAC面積的最大值是8；（3）Q(0,0),(－4,0),．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求得OC的長(zhǎng)，再求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；（2）存在，作PN⊥x軸交AC于N，先求得直線AC的解析式，設(shè)P（x，x2＋3x＋4），則N(x,－x＋4)，即可得PN＝x2＋4x ，根據(jù)三角形的面積公式可得S△PAC＝PN×4＝－2(x－2)2＋8 ，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)x=2時(shí)，ΔPAC面積的最大值為8，再求得點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；（3）根據(jù)勾股定理求得AC=4，以A為頂點(diǎn)，以AC為腰時(shí)，可得AQ=4，此時(shí)可得Q的坐標(biāo)為（4+4，0）、（4-4，0）；以C為頂點(diǎn)，以AC為腰時(shí)，AC=AQ,因OC垂直于x軸，可得OA=OQ,此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-4，0）；以O為頂點(diǎn)，以AC為底邊時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，0），所以符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：(0,0)，(－4,0)，．

試題解析：

(1)∵C(0,4)，∴OC＝4．

∵OA＝OC＝4OB，∴OA＝4，OB＝1，

∴A(4,0),B(1,0)，

設(shè)拋物線解析式：y＝a(x＋1)(x4)，

∴4＝4a，∴a＝1．

∴y＝x2＋3x＋4．

(2)存在．

作PN⊥x軸交AC于N,求得AC的解析式為y＝－x＋4 ，

設(shè)P（x，x2＋3x＋4），則N(x,－x＋4),

得PN＝（x2＋3x＋4）－(－x＋4)＝x2＋4x ，

∴S△PAC＝PN×4＝2PN＝2(x2＋4x)＝－2(x－2)2＋8 ，

當(dāng)x=2時(shí)，ΔPAC面積的最大值為8，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，6）.

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6）時(shí)，ΔPAC面積有最大值，最大面積是8 .

(3) 根據(jù)勾股定理求得AC=4，分三種情況：

①以A為頂點(diǎn)，以AC為腰時(shí)，可得AQ=4，此時(shí)可得Q的坐標(biāo)為（4+4，0）、（4-4，0）；

②以C為頂點(diǎn)，以AC為腰時(shí)，AC=AQ,因OC垂直于x軸，可得OA=OQ,此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-4，0）；

③以O為頂點(diǎn)，以AC為底邊時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，0），

綜上，符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：(0,0)，(－4,0)，．