Question

（2007•哈爾濱）如圖，梯形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，上底AD平行于x軸，下底BC交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)C（4，-2），點(diǎn)D（1，2），BC=9，sin∠ABC=．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-1，-1），動(dòng)點(diǎn)G從B出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿著BC邊向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)G可以與點(diǎn)B或點(diǎn)C重合），求△HGE的面積S（S≠0）隨動(dòng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t′秒變化的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量t′的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)秒時(shí)，點(diǎn)G停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)直線GH與y軸交于點(diǎn)N．另一動(dòng)點(diǎn)P開始從B出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿著梯形的各邊運(yùn)動(dòng)一周，即由B到A，然后由A到D，再由D到C，最后由C回到B（點(diǎn)P可以與梯形的各頂點(diǎn)重合）．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)M為直線HE上任意一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)H重合），在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求出所有能使∠PHM與∠HNE相等的t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）作AF⊥BC．已知點(diǎn)C的坐標(biāo)可求出BC=9，CE=4，BE=5，又知道點(diǎn)B，C的坐標(biāo)然后利用三角函數(shù)可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把已知坐標(biāo)代入可求出解析式．
（2）本題要分兩種情況討論：首先當(dāng)G在線段BE上且不與點(diǎn)E重合，可得GE=5-t′，S=（5-t′）×1×；
當(dāng)G在線段CE上且不與點(diǎn)E重合，這時(shí)候GE=t′-5，S=（t′-5）×，分別求出自變量的取值范圍即可．
（3）如圖可求出GE的長與點(diǎn)G的坐標(biāo)后可得點(diǎn)N的坐標(biāo)．當(dāng)點(diǎn)M在射線HF上時(shí)，分四種情況討論：
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至P₁時(shí)，∠P₁HM=∠HNE．過點(diǎn)P₁作平行于y軸的直線，證明△P₁Q₁H∽△HEN得，然后求出t₁的值；
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)P₂時(shí)，∠P₂HN=∠HNE．設(shè)直線P₂H與x軸交于點(diǎn)T，直線HE與x交于點(diǎn)Q₂．可得△Q₂TH∽△EHN，利用解得Q₂T的長以及點(diǎn)T的坐標(biāo)．求出直線HT的解析式后求出t₂的值；
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)P₃時(shí)，∠P₃HM₁=∠HNE．過點(diǎn)P₃作平行于y軸的直線P₃Q₃，交直線HE于點(diǎn)Q₃，同1求出t的坐標(biāo)；
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至P₄時(shí)，∠P₄HM₁=∠HNE．求證△P₄HE≌△THQ₂，求出t的值．
解答：解：（1）如圖1，過A作AF⊥BC．
∵C（4，-2），∴CE=4．
而BC=9，∴BE=5．
∴B（-5，-2）．
∵D（1，2），∴AF=4．
∵sin∠ABC=，∴BF=3．
∴A（-2，2）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
∵，∴，
∴直線AB的解析式為y=．

（2）如圖1，由題意：
情況一：G在線段BE上且不與點(diǎn)E重合．
∴GE=5-t′，
S=（5-t′）×；
情況二：G在線段CE上且不與點(diǎn)E重合．
∴GE=t′-5
S=（t′-5）×；
情況一中的自變量的取值范圍：0≤t′＜5，
情況二中的自變量的取值范圍：5＜t′≤9．

（3）如圖2，
當(dāng)t′=秒時(shí)，GE=5-
∴G（-，-2），直線GH解析式為y=2x+1．
∴N（0，1）．
當(dāng)點(diǎn)M在射線HF上時(shí)，有兩種情況：
情況一：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至P₁時(shí)，∠P₁HM=∠HNE．
過點(diǎn)P₁作平行于y軸的直線，交直線HE于點(diǎn)Q₁，交BC于點(diǎn)R．
由BP₁=t，sin∠ABC=，可得BR=，P₁R=，
∴RE=Q₁R=5-，
∴P₁Q₁=5-．
∴Q₁H=．
由△P₁Q₁H∽△HEN得，
∴t₁=．
∴當(dāng)t₁=時(shí)，∠P₁HM=∠HNE；
情況二：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)P₂時(shí)，
設(shè)直線P₂H與x軸交于點(diǎn)T，直線HE與x交于點(diǎn)Q₂．
此時(shí)，△Q₂TH∽△EHN
∴解得．
∴直線HT的解析式為y=-3x-4，此時(shí)直線HT恰好經(jīng)過點(diǎn)A（-2，2）．
∴點(diǎn)P₂與點(diǎn)A重合，即BP₂=5，
∴t₂=5．
∴當(dāng)t₂=5秒時(shí)，∠P₂HM=∠HNE；
若點(diǎn)M在射線HE上時(shí)（點(diǎn)M記為點(diǎn)M₁），有兩種情況：
情況三：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)P₃時(shí)，∠P₃HM₁=∠HNE．
過點(diǎn)P₃作平行于y軸的直線P₃Q₃，交直線HE于點(diǎn)Q₃，可用求點(diǎn)P₁同樣的方法．
∴t₃=15．
∴當(dāng)t₃=15秒時(shí)，∠P₃HM₁=∠HNE；
情況四：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至P₄時(shí)，∠P₄HM₁=∠HNE．
可得△P₄HE≌△THQ₂，∴P₄E=TQ₂=．∴t₄=
∴當(dāng)t₄=秒時(shí)，∠P₄HM₂=∠HNE．
綜上所述：當(dāng)t=秒或t=5秒或t=15秒或t=秒時(shí)，∠PHM=∠HNE．
點(diǎn)評：本題考查的是一次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及分段函數(shù)的運(yùn)用，本題難度較大，考生應(yīng)注意全面分析題目求解．