Question

11．如圖，拋物線M：y=（x+1）（x+a）（a＞1）交x軸于A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊），交y軸于C點(diǎn)．拋物線M關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線N交x軸于P、Q兩點(diǎn)（P在Q的左邊）
（1）直接寫(xiě)出A、C坐標(biāo)：A（-a，0），C（0，a）；（用含有a的代數(shù)式表示）
（2）在第一象限存在點(diǎn)D，使得四邊形ACDP為平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；并判斷點(diǎn)D是否在拋物線N上，說(shuō)明理由．
（3）若（2）中平行四邊形ACDP為菱形，請(qǐng)確定拋物線N的解析式．

Answer 1

分析 （1）令y=0可求得x，則可求得A、B坐標(biāo)，令x=0可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）可先求得拋物線N的解析式，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，由平行四邊形的性質(zhì)可知CD=AP，則可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由菱形的性質(zhì)可知AC=AP，則可得到關(guān)于a的方程，可求得拋物線N的解析式．

解答 解：
（1）在y=（x+1）（x+a）中，令y=0可得（x+1）（x+a）=0，解得x=-1或x=-a，
∵a＞1，
∴-a＜-1，
∴A（-a，0），B（-1，0），
令x=0可得y=a，
∴C（0，a），
故答案為：-a，0；0，a；
（2）∵拋物線N與拋物線M關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴拋物線N的解析式為y=（x-1）（x-a），
令y=0可解得x=1或x=a，
∴P（1，0），Q（a，0），
∴AP=1-（-a）=1+a，
∵四邊形ACDP為平行四邊形，
∴CD∥AP，且CD=AP，
∴CD=1+a，且OC=a，
∴D（1+a，a）；
（3）∵A（-a，0），C（0，a），
∴AC=$\sqrt{2}$a，
當(dāng)四邊形ACDP為菱形時(shí)則有AP=AC，
∴$\sqrt{2}$a=1+a，解得a=$\sqrt{2}$+1，
∴拋物線N的解析式為y=（x-1）（x-$\sqrt{2}$-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、軸對(duì)稱、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)．在（1）中注意函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的求法，在（2）中由平行四邊形的性質(zhì)求得AP=CD、AP∥CD是解題的關(guān)鍵，在（3）中由菱形的性質(zhì)得到AC=AP是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．