Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D為AB中點，四邊形BCED為平行四邊形，DE、AC相交于點F．求證：
（1）點F為AC中點；
（2）試確定四邊形ADCE的形狀，并說明理由；
（3）若四邊形ADCE為正方形，△ABC應添加什么條件？并證明你的結論．

Answer 1

證明：（1）∵四邊形DBEC是平行四邊形，
∴DE∥BC，
∵D為AB中點，
∴DF為△ABC的中位線，
即點F為AC的中點；

（2）∵平行四邊形BDEC，
∴CE平行等于BD．
∵D為AB中點，
∴AD=BD，
∴CE平行且等于AD，
∴四邊形ADCE為平行四邊形，
又∵AD=CD=BD，
∴四邊形ADCE為菱形；

（3）應添加條件AC=BC．
證明：∵AC=BC，D為AB中點，
∴CD⊥AB（三線合一的性質），即∠ADC=90°．
∵四邊形BCED為平行四邊形，四邊形ADCE為平行四邊形，
∴DE=BC=AC，∠AFD=∠ACB=90°．
∴四邊形ADCE為正方形．（對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形）
分析：（1）根據三角形的中位線，證出即可；
（2）由題意容易證明CE平行且等于AD，AD=CD=BD，所以得到四邊形ADCE為菱形；
（2）應添加條件AC=BC，證明CD⊥AB且相等即可．
點評：此題主要考查平行四邊形、正方形的判定．