Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)（， ）的直線(xiàn)交軸的正半軸于點(diǎn)， ．

（1）求直線(xiàn)的解析式；（直接寫(xiě)出結(jié)果）

（2）如圖2，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，以為圓心， 為半徑作⊙，當(dāng)⊙與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，求圓心的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)在軸上，△是以為底邊的等腰三角形，求過(guò)點(diǎn)、、三點(diǎn)的拋物線(xiàn)．

Answer 1

【答案】（1）直線(xiàn)的解析式為；

（2）當(dāng)⊙與相切時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為（， ）或（， ）；

（3）過(guò)點(diǎn)、、三點(diǎn)的拋物線(xiàn)為或

【解析】試題分析：(1)、根據(jù)Rt△AOB的性質(zhì)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；(2)、根據(jù)⊙在直線(xiàn)AB的左側(cè)和右側(cè)兩種情況以及圓的切線(xiàn)的性質(zhì)分別求出AC的長(zhǎng)度，從而得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)、本題也需要分兩種情況進(jìn)行討論：⊙在直線(xiàn)的右側(cè)相切時(shí)得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)等邊△的性質(zhì)得出的坐標(biāo)，從而根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式；⊙在直線(xiàn)的左側(cè)相切時(shí)，根據(jù)切線(xiàn)的直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式.

試題解析：（1）∵（， ），∴． 在Rt△中， ．

， ． ． ∴（， ）．

設(shè)直線(xiàn)的解析式為．

則 解得 ∴直線(xiàn)的解析式為．

（2）如圖3，①當(dāng)⊙在直線(xiàn)的左側(cè)時(shí)， ∵⊙與相切，∴．

在Rt△中， ． ， ， ．

而，∴與重合，即坐標(biāo)為（， ）．

②根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，⊙還可能在直線(xiàn)的右側(cè)，與直線(xiàn)相切，此時(shí)．

∴坐標(biāo)為（， ）．

綜上，當(dāng)⊙與相切時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為（， ）或（， ）．

（3）如圖4，①⊙ 在直線(xiàn)的右側(cè)相切時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（， ）．

此時(shí)△為等邊三角形．∴（， ）．

設(shè)過(guò)點(diǎn)、、三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為．

則 ∴

②當(dāng)⊙在直線(xiàn)的左側(cè)相切時(shí)， （， ）

設(shè)，則， ． 在Rt△中， ．

， 即，

∴（， ）．

設(shè)過(guò)點(diǎn)、、三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為．

則， ． ．

綜上，過(guò)點(diǎn)、、三點(diǎn)的拋物線(xiàn)為或．