Question

（2010•溫州模擬）Rt△ABC中，∠C=90°，按題目所給條件及要求將相應(yīng)的直角三角形，分割成若干個全等的并且分別與原三角形相似的三角形．畫出圖形并簡要說明畫法．
第（1）圖AC=BC將△ABC分割成2個三角形；第（2）圖AB=2AC將△ABC分割成3個三角形；第（3）圖將△ABC分割成4個三角形；第（4）圖BC=2AC將△ABC分割成5個三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用斜邊上的中線，將三角形分割成兩個全等的等腰直角三角形，都與原等腰直角三角形相似；
（2）過AB的中點(diǎn)E作AB的垂直平分線，交BC于D，則分割成的3個全等的直角三角形ACD，ADE，DEB都與原直角三角形相似，因?yàn)樗鼈兂�直角外，還有一個銳角都是30°；
（3）過AB的中點(diǎn)分別作AC和BC的垂線，得到的4個直角三角形都與原直角三角形相似；
（4）作高CD，利用BC的中點(diǎn)E，分別作CD、BD的垂線即可．
解答：
解：（1）取斜邊AB中點(diǎn)D連接CD，因?yàn)锳C=BC，所以CD⊥AB，所以等腰直角三角形ACD和CDB全等，且都與三角形ABC相似；（2分）

（2）作∠CAB的平分線交BC于D，作DE⊥AB于E，
因?yàn)锳B=2AC，∠C=90°，
所以∠B=30°=∠CAD=∠DAB，
所以可證△ACD≌△AED≌△BED，且都與△ABC相似；（2分）

（3）取斜邊AB的中點(diǎn)D，連接CD，則CD=AD=BD=AB，
作DE⊥AC，DF⊥BC，可證△AED≌△CED≌△CFD≌△BFD，且都與△ABC相似；（3分）

（4）作CD⊥AB于D，取BC中點(diǎn)E，作EG⊥CD于G，EF⊥BD于F，
∴∠EGD=∠GDF=∠EFD=90°，
∴四邊形DGEF是矩形，又BE=EC=AC=DE，
進(jìn)而可證△ADC≌△DGE≌△EFD≌△CGE≌△EFB，且都與△ABC相似．（3分）
（只畫圖沒有說明畫法每題扣（1分），畫法正確但畫圖不準(zhǔn)確酌情扣分．）
點(diǎn)評：本題一方面考查了學(xué)生的動手操作能力，另一方面考查了學(xué)生的空間想象能力，重視知識的發(fā)生過程，讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)的過程，進(jìn)一步加深了對全等三角形判定的運(yùn)用．