如圖,點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點,以線段AG為邊作一個正方形AEFG,線段EB和GD相交于點H.
(1)求證:EB=GD;
(2)判斷EB與GD的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)若AB=2,AG=,求EB的長.

【答案】分析:(1)在△GAD和△EAB中,∠GAD=90°+∠EAD,∠EAB=90°+∠EAD,得到∠GAD=∠EAB從而△GAD≌△EAB,即EB=GD;
(2)EB⊥GD,由(1)得∠ADG=∠ABE則在△BDH中,∠DHB=90°所以EB⊥GD;
(3)設BD與AC交于點O,由AB=AD=2在Rt△ABD中求得DB,所以得到結(jié)果.
解答:(1)證明:在△GAD和△EAB中,∠GAD=90°+∠EAD,∠EAB=90°+∠EAD,
∴∠GAD=∠EAB,
∵四邊形EFGA和四邊形ABCD是正方形,
∴AG=AE,AB=AD,
在△GAD和△EAB中
∴△GAD≌△EAB(SAS),
∴EB=GD;

(2)解:EB⊥GD.
理由如下:∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠DAB=90°,
∴∠AMB+∠ABM=90°,
又∵△AEB≌△AGD,
∴∠GDA=∠EBA,
∵∠HMD=∠AMB(對頂角相等),
∴∠HDM+∠DMH=∠AMB+∠ABM=90°,
∴∠DHM=180°-(∠HDM+∠DMH)=180°-90°=90°,
∴EB⊥GD.


(3)解:連接AC、BD,BD與AC交于點O,
∵AB=AD=2,在Rt△ABD中,DB=,
在Rt△AOB中,OA=OB,AB=2,由勾股定理得:2AO2=22,
OA=,
即OG=OA+AG=+=2,
∴EB=GD=

點評:本題考查了正方形的性質(zhì),考查了利用其性質(zhì)證得三角形全等,并利用證得的條件求得邊長.
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,點E是正方形ABCD邊BA延長線上一點(AE<AD),連接DE.與正方形ABCD的外接圓相交于點F,BF與AD相交于點G.
(1)求證:BG=DE;
(2)若tan∠E=2,BE=6
2
,求BG的長.

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(2013•包頭)如圖,點E是正方形ABCD內(nèi)的一點,連接AE、BE、CE,將△ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,則∠BE′C=
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度.

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如圖,點E是正方形ABCD邊BC的中點,H是BC延長線上的一點,EG⊥AE于點E,交邊CD于G,
(1)求證:△ABE∽△ECG;
(2)延長EG交∠DCH的平分線于F,則AE與EF的數(shù)量關(guān)系是
AE=EF
AE=EF
;
(3)若E為線段BC上的任意一點,則它們之間的關(guān)系是否還能成立?若成立,請給予證明;若不能成立,則舉一個反例.

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(2013•青銅峽市模擬)如圖,點E是正方形ABCD內(nèi)一點,△CDE是等邊三角形,連接EB、EA.
求證:△ADE≌△BCE.

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如圖,點M是正方形ABCD的邊CD的中點,正方形ABCD的邊長為4cm,點P按A-B-C-M-D的順序在正方形的邊上以每秒1cm的速度作勻速運動,設點P的運動時間為x(秒),△APM的面積為y(cm2
(1)直接寫出點P運動2秒時,△AMP面積; 
(2)在點P運動4秒后至8秒這段時間內(nèi),y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在點P整個運動過程中,當x為何值時,y=3?

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