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【題目】問題探究

1)如圖①,在正方形ABCD內,請畫出使∠BPC=90°的所有點P;

2)如圖②,已知矩形ABCDAB=9BC=10,在矩形ABCD內(含邊)畫出使∠BPC=60°的所有點P,并求出APD面積的最大值;

3)隨著社會發(fā)展,農業(yè)觀光園走進了我們的生活,某農業(yè)觀光園的平面示意圖如圖3所示的四邊形ABCD,其中∠A=120°,∠B=C=90°AB=km,BC=6km,觀光園的設計者想在園中找一點P,使得點P與點AB、C、D所連接的線段將整個觀光園分成四個區(qū)域,用來進行不同的設計與規(guī)劃,從實用和美觀的角度他們還要求在BPC的區(qū)域內∠BPC=120°,且APD的區(qū)域面積最小,試問在四邊形ABCD內是否存在這樣的點P,使得∠BPC=120°,且APD面積最。咳舸嬖,請你在圖中畫出點P點的位置,并求出APD的最小面積.若不存在,說明理由.

【答案】(1)見解析;(2)45-;(3)9-12.

【解析】

1)如圖,以BC為直徑作上半圓(不含點BC),根據直徑所對的圓周角為直角得到該半圓上的任意一點即可;(2)以BC為邊作等邊BPC;作等邊BPC的外接圓⊙OAB交于F,與AD交于點EG,與CD交于點H,即為所求,(3)以BC為邊向下作等邊BCQ,作BCQ的外接圓⊙O,則劣弧BC即為所求,作AD的平行線MN切劣弧BCP,連接OP并延長交ADE,由切線的性質可得OPMN,即可證明OPAD,由平行線間垂線段最短,可得三角形APD面積最小,過AAHCDH,由BC=10可得BCQ的外接圓半徑為2,與BC弦的弦心距為,根據AB=可得AH與⊙O相切,切點為G,根據平行線的判定定理可得OC//AD,進而可證明四邊形OCDF為平行四邊形,即可證明CD=OF,根據直角三角形銳角互余的關系可得∠EOF=30°,通過解直角三角形可求出OE的長,進而可求出PE的長,根據三角形面積公式即可得答案.

1)如圖,以BC為直徑作上半圓(不含點BC),

∵直徑所對的圓周角是90°

(不含點B、C)即為所求.

2)以BC為邊作等邊BPC;作等邊BPC的外接圓⊙OAB交于F,與AD交于點E、G,與CD交于點H

BPC是等邊三角形,是弦BC所對圓周角,

即為所求.

連接CF,DF,

∵三角形的底相等,高越大面積越大,

∴當P點與F點或H點重合時面積最大,

∵∠BFC=60°,BC=10

tan60°===,

BF=

AF=9-,

SAFD=×9-×10=45-.

3)如圖,以BC為邊向下作等邊BCQ,作BCQ的外接圓⊙O,則劣弧BC即為所求,作AD的平行線MN切劣弧BCP,連接OP并延長交ADE,

OPMN

AD//MN,

OEAD,

∵平行線間垂線段最短,

APD面積最小,

AAHCDH,作OKBC,延長OKAHG,交ADF,

BCQ是等邊三角形,

∴∠OBC=30°BK=3,

OB==,OK==,即外接圓的半徑為,BC的弦心距為

∵∠DCB=90°

AH//BC,

OGAH

AB=KG=CH,

AB=

OG=OK+KG=OK+AB=2=OB,

AH與⊙O相切,切點為G,

∵∠D=60°,∠OCD=90°+30°=120°,

AD//OC,

∵∠OKC=DCK=90°,

OF//CD,

∴四邊形OCDF是平行四邊形,

OF=CD

∵∠BAD=120°,∠BAH=90°

∴∠FAG=30°,

∵∠FAG+AFO=90°,∠EOF+AFO=90°,

∴∠EOF=FAG=30°,

∵∠FAG=30°,AH=BC=6,

AD==,HD=6tan30°=2,

OF=CD=HD+CH=2+=3,

OE=OFcosEOF=OFcos30°=3×=

PE=OE-OP=-2,

SAPD=ADPE=×-2×=9-12.

練習冊系列答案
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